Yüzme Kanunları ve Başlangıç Stabilitesi

Her gemi için temel şart, ağırlığını taşıyacak kadar yüzerlik (sephiye) sahibi olmasıdır. Ancak aşağıda görüleceği gibi bu tek başına statik denge için yeterli değildir. Bu nedenle bir gemi yalnızca yüzme koşulunu değil, aynı zamanda statik denge (stabilite) koşulunu da sağlamalıdır.

1 Yüzme Kanunları

Arşimet prensibine göre bir akışkana daldırılan cisme, yer değiştirdiği akışkanın ağırlığına eşit, düşey ve yukarı doğru bir kuvvet etki eder. Şekil 1'deki gibi durgun suda statik dengede yüzen bir gemiyi ele alalım. Gövde yüzeyine etki eden hidrostatik basınçların düşey bileşenleri toplanırsa elde edilen kaldırma kuvveti, yer değiştiren suyun ağırlığına (Δ) eşittir. Bu kuvvet, geminin aşağı doğru etki eden ağırlığı (W) tarafından tam olarak dengelenmelidir. Geminin deplasmanı:

Δ = \nabla ρ

Burada $\nabla$ deplasman hacmi (geminin su altı hacmi), $ρ$ suyun yoğunluğudur. Arşimet prensibi şunu gerektirir:

Δ = W

Şekil 1. Yüzen bir gemiye etki eden kuvvetler (G: ağırlık merkezi, B: sephiye merkezi)

2 Su Yoğunluğunun Yüzmeye Etkisi

Deniz suyundan tatlı suya geçen bir gemiyi düşünelim. Tatlı suyun yoğunluğu deniz suyundan küçük olduğundan, aynı kaldırma kuvvetini oluşturmak için daha fazla su hacmi gerekir; bu yüzden gemi tatlı suda daha derin yüzer. Gemi ayrıca LCB ile LCG'yi aynı düşey doğru üzerinde tutmak için trim de yapar.

Draft değişimini bulmak için 1 cm batma tonajı yaklaşımı kullanılabilir. Yoğunluk değişimi nedeniyle su hattı seviyesinde bir tabaka batar; bu tabaka, alt ve üst yüzü su hattı alanına eşit bir prizma gibi düşünülebilir (Şekil 2).

Şekil 2. Su yoğunluğunun değişiminin etkisi: t kalınlığında paralel batma

Tabakanın hacmi, tatlı ve deniz suyundaki deplasman hacimlerinin farkına ya da su hattı alanı ile paralel batmanın çarpımına eşittir:

\nabla_{F} - \nabla_{S} = A_{WP} t

Geminin ağırlığı değişmediğinden:

ρ_{F} \nabla_{F} = ρ_{S} \nabla_{S} \Rightarrow \nabla_{F} = \nabla_{S} \frac{ρ_{S}}{ρ_{F}}

Bu ifade yukarıda yerine konursa paralel batma bulunur:

t = \frac{\nabla_{S}}{A_{WP}} (\frac{ρ_{S}}{ρ_{F}} - 1)

Burada S indisi deniz suyunu, F indisi tatlı suyu gösterir.

3 Stabilite Referans Noktaları

Şekil 3. Stabilite referans noktaları

Omurga (K): Bütün diğer referans noktalarının ölçüldüğü kaide hattı noktası.
Sephiye merkezi (B): Geminin su altı hacminin geometrik merkezi. Bütün kaldırma kuvvetlerinin, düşey ve yukarı doğru etki ettiği kabul edilen noktadır.
Ağırlık merkezi (G): Gemiye etki eden bütün ağırlık kuvvetlerinin etki ettiği kabul edilen nokta. Konumu, gemideki ağırlıkların dağılımına bağlıdır.
Metasantr (M): Gemi küçük açılarla meyil ettiğinde kaldırma kuvveti doğrultularının kesiştiği nokta.

4 Stabilitede Doğrusal Ölçüler

Şekil 4. Stabilitede doğrusal ölçüler

KG: Ağırlık merkezinin omurgadan yüksekliği.
KM: Metasantrın omurgadan yüksekliği.
BM: Metasantr yarıçapı.
GM: Metasantr yüksekliği: $GM = KM - KG = KB + BM - KG$

5 Stabilite Üçgeni

Şekil 5. Meyilli gemide ağırlık ve sephiye kuvvetleri

Gemi meyil ettiğinde sephiye merkezi simetri düzleminden ayrılır, ağırlık merkezi ise yerinde kalır. Kaldırma kuvveti ile ağırlık eşit büyüklükte, paralel ve zıt yönlü olduğundan bir kuvvet çifti oluşur. Bu çift gemiyi, kaldırma kuvveti ile ağırlığın yeniden dengelendiği konuma döndürür.

Kaldırma kuvveti ile ağırlık arasındaki dik uzaklığa (GZ) doğrultucu kol denir. GZ, ağırlık merkezinden kaldırma kuvveti doğrultusuna indirilen dikmedir. Küçük meyil açılarında (yaklaşık 7–10°) GZ, trigonometriyle bulunur:

Şekil 6. Stabilite üçgeni (GMZ)

GZ = GM \sin φ

Küçük açılarda sinüs fonksiyonu neredeyse doğrusaldır ( $\sin φ \approx φ$ , radyan). Bu yüzden küçük meyil açılarında doğrultucu kol, metasantr yüksekliği GM ile doğru orantılıdır; GM, başlangıç stabilitesinin temel ölçüsüdür:

GZ = GM \sin φ ≅ GM φ

6 Denge Durumları

Bir geminin hareketsiz ya da dengede olabilmesi için üzerinde dengelenmemiş kuvvet ya da moment bulunmamalıdır. Durgun suda dik yüzen bir gemiyi dengede tutan iki ana kuvvet vardır: ağırlık ve deplasman. Gemi hareketsizken bu iki kuvvet aynı düşey doğru üzerinde, zıt yönlerde etki eder. Ağırlık, bütün ağırlıkların toplandığı kabul edilen ağırlık merkezinden (G) düşey olarak aşağı; deplasman ise su altı hacminin geometrik merkezi olan sephiye merkezinden (B) düşey olarak yukarı doğru etki eder.

Gemi dış bir kuvvetle meyil ettirildiğinde su altı formu değişir ve sephiye merkezi simetri düzleminden ayrılır. Ağırlık ve deplasman kuvvetlerinin doğrultuları birbirinden ayrılır ve büyüklüğü ağırlık (ya da deplasman) ile aradaki uzaklığın çarpımına eşit bir moment oluşur:

Kararlı denge: Moment gemiyi dik konuma döndürmeye çalışıyorsa buna doğrultucu moment denir (Şekil 7a). Ağırlık ve deplasman doğrultuları arasındaki dik uzaklık doğrultucu koldur (GZ). Doğrultucu moment pozitif olduğundan gemi kararlı dengededir.
Nötr denge: Ağırlık merkezi, gemi biraz meyil ettiğinde deplasman doğrultusu G'den geçecek kadar yükseltilirse (Şekil 7b) iki doğrultu arasındaki uzaklık sıfır olur; doğrultucu moment oluşmaz ve gemi nötr dengededir.
Kararsız denge: Ağırlık merkezi daha da yükseltilirse (Şekil 7c) negatif bir moment oluşur. Bu moment gemiyi daha çok meyil ettirmeye çalışır; gemi kararsız dengededir.

Şekil 7. (a) kararlı, (b) nötr ve (c) kararsız denge

7 Sephiye Merkezi Eğrisi ve Metasantr

Gemi küçük açılarla meyil ettikçe kaldırma kuvveti doğrultuları metasantr denen bir noktada kesişir. Küçük meyil açıları için metasantr (M), simetri düzlemi ile meyilli geminin sephiye merkezinden (B) geçen düşey doğrunun kesişme noktası olarak tanımlanır. Ardışık küçük meyil açılarında sephiye merkezinin izlediği yol bir daire yayı olduğu sürece bütün kaldırma kuvveti doğrultuları M noktasında kesişir; M, sephiye merkezinin izlediği dairesel yolun merkezidir. Bu dairenin yarıçapı BM'dir ve metasantr yarıçapı adını alır.

Gemi dik durumdayken metasantr, ağırlık merkezi (G) ve sephiye merkezi (B) ile aynı doğru üzerindedir. G ile M arasındaki uzaklığa metasantr yüksekliği (GM) denir. GM, başlangıç enine stabilitesinin temel göstergesidir: G, M'nin altındaysa pozitif; M, G'nin altındaysa negatif kabul edilir. GM negatifse gemi daha büyük açılara meyil etmeye çalışır; bu, alabora ile sonuçlanabilir. G ile M çakışırsa (çok nadir bir durum) gemi nötr dengededir.

Metasantr terimi yalnızca küçük meyil açıları için kullanılır. Dikdörtgen kesitli bir dubada metasantrın hareketi Şekil 8'de görülmektedir.

Şekil 8. Dikdörtgen kesitli bir dubada metasantrın hareketi

Metasantrın konumu sephiye merkezinin konumuna, dolayısıyla geminin deplasmanına bağlıdır; sephiye merkezi yükseldikçe metasantr aşağı iner. Şekil 7'den açıkça görüldüğü gibi:

Metasantr ağırlık merkezinin üstündeyse (GM > 0) pozitif doğrultucu moment oluşur ve gemi kararlı dengededir.
Metasantr ile ağırlık merkezi çakışıyorsa (GM = 0) doğrultucu moment yoktur ve gemi nötr dengededir.
Metasantr ağırlık merkezinin altındaysa (GM < 0) negatif doğrultucu moment oluşur ve gemi kararsız dengededir.

8 Tamamen Batmış Cismin Dengesi (Denizaltı)

Su üstündeki bir denizaltının KM değeri, $BM = I / \nabla$ olmak üzere $KB + BM$ 'dir. Denizaltı dalınca su hattı ortadan kalkar; I ve dolayısıyla BM sıfıra iner. KM, KB'ye eşit olur ve B ile M çakışır. Dalmış bir denizaltıda sephiye merkezi sabittir ve belirli bir meyil momenti boyuna doğrultuda da enine doğrultudakine yakın bir eğilme oluşturur. Her eğik konumda sephiye merkezinden geçen düşey doğru sephiye merkezinde kesiştiğinden, sephiye merkezi hem enine hem de boyuna metasantrdır. Bu nedenle dalmış bir denizaltının dengede kalması için ağırlık merkezinin sephiye merkezinin altında olması gerekir (Şekil 9, Şekil 10).

Şekil 9. Denizaltının enine stabilitesi

Şekil 10. Denizaltının boyuna stabilitesi

9 Çözümlü Örnekler

Örnek 1

Boyu 161 m, genişliği 23,2 m olan bir konteyner gemisi, suyun yoğunluğu 1,010 t/m³ olan bir iskelede yüzmektedir. Gemi, deniz suyuna çıktığında draftı 8,75 m olacak şekilde iskelede yüklenmek isteniyor. Hidrostatik eğrilere göre deniz suyunda 8,75 m draftta deplasman 19 420 t ve $T_{1}$ = 27,62 t/cm'dir. Gemi iskelede hangi drafta kadar yüklenmelidir?

Çözümü gösterÇözümü gizle

\nabla = \frac{Δ}{ρ_{S}} = \frac{19 420}{1,025} = 18 946 m^{3} A_{WP} = \frac{100 T_{1}}{ρ_{S}} = \frac{100 \times 27,62}{1,025} = 2694,6 m^{2}

t = \frac{\nabla}{A_{WP}} (\frac{ρ_{S}}{ρ_{F}} - 1) = \frac{18 946}{2694,6} (\frac{1,025}{1,010} - 1) = 0,104 m

İskeledeki draft, deniz suyunda istenen drafttan 0,104 m fazla olabilir:

T_{iskele} = 8,75 + 0,104 = 8,854 m

Örnek 2

12 300 ton ağırlığında, 100 m boyunda ve aşağıdaki sabit en kesite sahip bir duba deniz suyunda ve tatlı suda hangi draftla yüzer?

Şekil 11. Dubanın en kesiti

Çözümü gösterÇözümü gizle

Deniz suyunda deplasman hacmi:

\nabla = \frac{W}{ρ_{S}} = \frac{12 300}{1,025} = 12 000 m^{3}

Bu hacim, alttaki üçgen prizma ile üstteki dikdörtgen prizmanın batan kısmından oluşur:

\nabla = \frac{1}{2} \times 100 \times 16 \times 6 + 100 \times 16 \times (T - 6) = 12 000 \Rightarrow T = 10,5 m

Tatlı suda paralel batma:

t = \frac{\nabla}{A_{WP}} (\frac{ρ_{S}}{ρ_{F}} - 1) = \frac{12 000}{100 \times 16} (\frac{1,025}{1} - 1) = 0,1875 m

Tatlı sudaki draft: $T = 10,5 + 0,1875 = 10,6875$ m.

Örnek 3

Homojen malzemeden yapılmış dikdörtgen bir blok L m boyunda, B m genişliğinde ve D m derinliğindedir; malzemenin yoğunluğu $ρ_{1}$ 'dir. Bloğun yoğunluğu $ρ_{0}$ olan bir akışkanda dik olarak serbestçe yüzebilmesi için:

$B / D$ ile $ρ_{1} / ρ_{0}$ arasındaki bağıntıyı bulunuz,
$B / D = 1$ için $ρ_{1} / ρ_{0}$ oranını belirleyiniz,
$ρ_{1} / ρ_{0} = 0,5$ için $B / D$ oranını bulunuz.

Şekil 12. Dikdörtgen kesitli homojen blok

Çözümü gösterÇözümü gizle

a) Arşimet prensibi $Δ = W$ gerektirir:

L B T ρ_{0} = L B D ρ_{1} \Rightarrow \frac{T}{D} = \frac{ρ_{1}}{ρ_{0}}

Başlangıç stabilitesi için GM > 0 olmalıdır:

KB = \frac{T}{2} KG = \frac{D}{2} BM = \frac{I}{\nabla} = \frac{L B^{3} / 12}{L B T} = \frac{B^{2}}{12 T}

GM = \frac{T}{2} + \frac{B^{2}}{12 T} - \frac{D}{2} > 0 \Rightarrow 6 T^{2} + B^{2} - 6 DT > 0

$T / D = ρ_{1} / ρ_{0}$ yerine konup $D^{2}$ 'ye bölünürse:

\frac{B^{2}}{D^{2}} > 6 \frac{ρ_{1}}{ρ_{0}} - 6 {(\frac{ρ_{1}}{ρ_{0}})}^{2} \Rightarrow \frac{B}{D} > \sqrt{6 \frac{ρ_{1}}{ρ_{0}} (1 - \frac{ρ_{1}}{ρ_{0}})}

b) $B / D = 1$ ve $t = ρ_{1} / ρ_{0}$ denirse:

A = 6 t^{2} - 6 t + 1 > 0 t_{1} = 0,21 t_{2} = 0,79

Şekil 13. A = 6t² − 6t + 1 fonksiyonu (t = ρ₁/ρ₀)

$T / D \leq 1$ olduğundan $t \leq 1$ 'dir. Statik denge koşulu şu aralıklarda sağlanır:

0 < \frac{ρ_{1}}{ρ_{0}} < 0,21 ve 0,79 < \frac{ρ_{1}}{ρ_{0}} < 1

c) $ρ_{1} / ρ_{0} = 0,5$ için:

\frac{B}{D} > \sqrt{6 \times \frac{1}{2} (1 - \frac{1}{2})} = \sqrt{\frac{3}{2}} = 1,22

Örnek 4

Homojen malzemeden yapılmış üçgen kesitli bir blok L m boyunda, B m genişliğinde ve D m derinliğindedir; malzemenin yoğunluğu $ρ_{1}$ 'dir. Bloğun yoğunluğu $ρ_{0}$ olan bir akışkanda (tepesi aşağıda) dik olarak yüzebilmesi için:

$B / D$ ile $ρ_{1} / ρ_{0}$ arasındaki bağıntıyı bulunuz,
$B / D = 2$ için $ρ_{1} / ρ_{0}$ oranını hesaplayınız.

Şekil 14. Üçgen kesitli homojen blok

Çözümü gösterÇözümü gizle

a) Yüzme kanunu $Δ = W$ gerektirir (b: su hattındaki genişlik):

\frac{1}{2} L b T ρ_{0} = \frac{1}{2} L B D ρ_{1} \Rightarrow b T ρ_{0} = B D ρ_{1} [1]

Benzer üçgenlerden $b / T = B / D$ , yani $b = BT / D$ . Bu [1]'de yerine konursa:

\frac{B T}{D} T ρ_{0} = B D ρ_{1} \Rightarrow \frac{T}{D} = \sqrt{\frac{ρ_{1}}{ρ_{0}}} [2]

Başlangıç stabilitesi için GM > 0 olmalıdır:

KB = \frac{2}{3} T KG = \frac{2}{3} D BM = \frac{I}{\nabla} = \frac{L b^{3} / 12}{\frac{1}{2} L b T} = \frac{b^{2}}{6 T} = \frac{T B^{2}}{6 D^{2}}

GM = \frac{2}{3} T + \frac{T B^{2}}{6 D^{2}} - \frac{2}{3} D > 0 \Rightarrow \frac{B^{2}}{D^{2}} > 4 (\frac{D}{T} - 1)

[2] yerine konursa ( $D / T = \sqrt{ρ_{0} / ρ_{1}}$ ):

\frac{B}{D} > 2 \sqrt{\sqrt{\frac{ρ_{0}}{ρ_{1}}} - 1}

b) $B / D = 2$ için:

2 > 2 \sqrt{\sqrt{\frac{ρ_{0}}{ρ_{1}}} - 1} \Rightarrow \sqrt{\frac{ρ_{0}}{ρ_{1}}} < 2 \Rightarrow \frac{ρ_{1}}{ρ_{0}} > 0,25

T < D olduğundan $ρ_{1} < ρ_{0}$ 'dır; dolayısıyla $0,25 < ρ_{1} / ρ_{0} < 1$ .

Örnek 5

Sabit kesitli bir blok, altta L m boyunda, B m genişliğinde ve D m derinliğinde üçgen bir prizma ile üstte L m boyunda, B m genişliğinde ve 3D/4 m derinliğinde dikdörtgen bir prizmadan oluşmaktadır. Üçgen ve dikdörtgen prizmaların malzeme yoğunlukları sırasıyla $ρ_{1}$ ve $ρ_{1} / 2$ 'dir. Sistemin yoğunluğu $ρ_{0}$ olan bir akışkanda 3D/2 draftla dik olarak yüzebilmesi için $B / D$ ve $ρ_{1} / ρ_{0}$ oranlarını bulunuz.

Şekil 15. Üçgen ve dikdörtgen prizmalardan oluşan blok

Çözümü gösterÇözümü gizle

Yüzme kanunu $Δ = W$ gerektirir. 3D/2 draftta üçgen prizmanın tamamı ve dikdörtgen prizmanın D/2 kadarı batmıştır:

Δ = \frac{1}{2} LBD ρ_{0} + \frac{1}{2} LBD ρ_{0} = LBD ρ_{0} W = \frac{1}{2} LBD ρ_{1} + \frac{3}{4} LBD \frac{ρ_{1}}{2} = \frac{7}{8} LBD ρ_{1}

LBD ρ_{0} = \frac{7}{8} LBD ρ_{1} \Rightarrow \frac{ρ_{1}}{ρ_{0}} = \frac{8}{7} = 1,14

Başlangıç stabilitesi için GM > 0 olmalıdır:

KB = \frac{\nabla_{1} {KB}_{1} + \nabla_{2} {KB}_{2}}{\nabla_{1} + \nabla_{2}} = \frac{\frac{1}{2} LBD \times \frac{2}{3} D + \frac{1}{2} LBD \times (D + \frac{D}{4})}{LBD} = \frac{23}{24} D

KG = \frac{W_{1} {KG}_{1} + W_{2} {KG}_{2}}{W_{1} + W_{2}} = \frac{\frac{1}{2} LBD ρ_{1} \times \frac{2}{3} D + \frac{3}{8} LBD ρ_{1} \times (D + \frac{3 D}{8})}{\frac{1}{2} LBD ρ_{1} + \frac{3}{8} LBD ρ_{1}} = \frac{163}{168} D

BM = \frac{I}{\nabla} = \frac{L B^{3} / 12}{LBD} = \frac{B^{2}}{12 D}

GM = \frac{23}{24} D + \frac{B^{2}}{12 D} - \frac{163}{168} D > 0 \Rightarrow \frac{B^{2}}{12 D^{2}} > \frac{1}{84} \Rightarrow \frac{B}{D} > \sqrt{\frac{1}{7}} = 0,378

Örnek 6

Bir SWATH teknesi 25 m boyundadır ve yoğunluğu 1,025 t/m³ olan deniz suyunda 300 ton deplasmana sahiptir. Teknenin sabit en kesiti aşağıda verilmiştir. Ağırlık merkezi kaide hattından KG = 1,85 m yüksekliktedir. Teknenin dik konumda yüzebileceğini gösteriniz.

Şekil 16. SWATH teknesinin en kesiti

Çözümü gösterÇözümü gizle

Önce draft bulunur (h: dikmelerin batan yüksekliği):

(π r^{2} + 0,63 h) \times 2 \times L \times ρ = 300 \Rightarrow h = 1,5 m T = 2 r + h = 2,5 + 1,5 = 4,0 m

Başlangıç stabilitesi için GM > 0 olmalıdır:

KB = \frac{\nabla_{1} h_{1} + \nabla_{2} h_{2}}{\nabla_{1} + \nabla_{2}} = \frac{π \times {1,25}^{2} \times 1,25 + 1,5 \times 0,63 \times (2,5 + \frac{1,5}{2})}{π \times {1,25}^{2} + 1,5 \times 0,63} = 1,573 m

BM = \frac{I}{\nabla} = \frac{2 [\frac{25 \times {0,63}^{3}}{12} + 25 \times 0,63 \times {2,5}^{2}]}{300 / 1,025} = 0,676 m

GM = KB + BM - KG = 1,573 + 0,676 - 1,85 = 0,40 m

GM > 0 olduğundan tekne dik konumda yüzebilir.

Örnek 7

Yüzer bir platform, çapı 1,5 m olan dört özdeş düşey silindirden oluşmaktadır. Ağırlık merkezinin kaide hattından yüksekliği 3,5 m'dir. Platformun 1 m draftla yüzmesi ve metasantr yüksekliğinin (GM) 2 m'den büyük olmaması isteniyor. Ayaklar arasındaki uzaklığı bulunuz.

Çözümü gösterÇözümü gizle

Ayaklar arasındaki uzaklık d olsun (her ayak simetri ekseninden d/2 uzaklıkta). Buna göre:

KB = \frac{T}{2} = 0,5 m BM = \frac{I}{\nabla} = \frac{4 [\frac{π r^{4}}{4} + π r^{2} {(\frac{d}{2})}^{2}]}{4 π r^{2} T} = \frac{r^{2} + d^{2}}{4 T}

GM = 0,5 + \frac{r^{2} + d^{2}}{4 T} - 3,5 < 2 \Rightarrow d^{2} < 19,44 \Rightarrow d < 4,4 m

Platformun kararlı olması için ayrıca GM > 0 olmalıdır: $(r^{2} + d^{2}) / 4 > 3$ , yani $d > 3,38$ m. Buna göre ayaklar arası uzaklık 3,38 m < d < 4,4 m olmalıdır.

Örnek 8

Bir gemi, suyun yoğunluğu $ρ_{1}$ olan bir limandan yoğunluğu $ρ_{2}$ olan başka bir limana gidecektir. Fribord değişimini tahmin ediniz.

Çözümü gösterÇözümü gizle

Draft değişimi x olsun. Batan ya da çıkan tabakanın kaldırma kuvveti, yoğunluk farkının oluşturduğu kuvvete eşittir:

x ρ_{2} A_{WP} = (ρ_{1} - ρ_{2}) \nabla \Rightarrow x ρ_{2} L B C_{WP} = (ρ_{1} - ρ_{2}) L B T C_{B}

x = \frac{C_{B}}{C_{WP}} \frac{ρ_{1} - ρ_{2}}{ρ_{2}} T

Fribord, draft değişimi kadar ters yönde değişir: $ρ_{2} < ρ_{1}$ ise gemi x kadar batar ve fribord x kadar azalır.

Kaynak: Dr. Hakan Akyıldız, İTÜ Gemi İnşaatı ve Deniz Bilimleri Fakültesi