Küçük Açılarda Enine Stabilite

Bu bölümde, varsayılan bir denge konumundan çok küçük sapmalara karşılık gelen başlangıç stabilitesi problemi ele alınmaktadır. Gemi tasarımcısını ve işletmecisini en çok ilgilendiren enine stabilitedir; bu nedenle gemiye küçük bir meyil açısı verilerek inceleme yapılır.

Bir sıvının yüzeyinde serbestçe yüzen rijit bir cismin, üçü öteleme ve üçü dönme olmak üzere altı serbestlik derecesi vardır. Denge konumundan sapmalar için gemi mühendisliğinde kullanılan adlar Tablo 1'de verilmiştir.

Hareket	Dinamik	Yarı statik
Boyuna öteleme	boyuna öteleme (surge)	–
Enine öteleme	yanal öteleme (sway)	–
Düşey öteleme	dalıp çıkma (heave)	–
Boyuna eksen etrafında dönme	yalpa (roll)	meyil (heel)
Enine eksen etrafında dönme	baş-kıç vurma (pitch)	trim
Düşey eksen etrafında dönme	savrulma (yaw)	–

1 Meyil Kuvvetleri ve Momentleri

Meyil kuvvetlerinin ve momentlerinin büyüklüğü, alabora olmayı ya da aşırı meyli önlemek için ağırlık ve kaldırma kuvvetlerinin oluşturması gereken kuvvet ve momentleri belirler.

Enine stabiliteyi etkileyen dış meyil kuvvetleri şunlardan kaynaklanabilir:

yandan esen rüzgâr ve dalgalar,
ağır yüklerin bordadan kaldırılması,
yüksek hızda dönüş,
karaya oturma,
bağlama halatlarındaki çekme,
römorkörlerin yedek halatı çekmesi.

İç meyil kuvvetleri ise şunlardır:

gemideki ağırlıkların enine kaydırılması,
güvertede biriken su.

1.1 Yandan esen rüzgâr ve dalgalar

Yandan rüzgâr alan bir gemide rüzgâr basıncı su hattının üstündeki kısma etki eder; suyun geminin yanal hareketine gösterdiği direnç ise su hattının altında, karşı tarafta bir kuvvet oluşturur (Şekil 1). Meyil açısına göre denge şu durumda sağlanır:

gemi, su direnci rüzgâr basıncına eşit olacak hızla rüzgâr altına doğru sürükleniyorsa, ve
gemi, ağırlık ve kaldırma kuvvetlerinin oluşturduğu moment rüzgâr ve su basınçlarının momentine eşit olacak açıya kadar meyil etmişse.

Şekil 1. Yandan esen rüzgârın etkisi

Gemi meyil ettikçe rüzgâr basıncı, su basıncı ve aralarındaki düşey uzaklık büyük ölçüde sabit kalır. Geminin ağırlığı sabittir ve sabit bir noktadan etki eder. Kaldırma kuvveti de sabittir, ancak etki noktası meyil açısıyla değişir. Ağırlık merkezi ile sephiye merkezi arasında meyil ve doğrultucu momentleri dengeleyecek kadar yatay uzaklık oluştuğunda denge sağlanır.

1.2 Ağır yüklerin bordadan kaldırılması

Bordadan bir yük kaldırıldığında (Şekil 2) yükün ağırlığı, meyil açısı ya da yükün kaldırıldığı yükseklik ne olursa olsun, bumbanın ucundan etki eder. Bu nedenle yük, bumbanın ucunda gemiye eklenmiş gibi düşünülebilir. Geminin ağırlık merkezi başlangıçta simetri ekseni üzerinde (G) ise gemi ile yükün ortak ağırlık merkezi GA doğrusu üzerinde ilerler ve yük iskeleden tamamen kalktığında G₁ konumuna gelir. G₁ simetri ekseninin dışında ve G'den biraz yukarıdadır. Gemi, sephiye merkezi G₁'in tam altına gelene kadar meyil eder.

Şekil 2. Ağır bir yükün bordadan kaldırılması

1.3 Yüksek hızda dönüş

Dönüş yapan bir gemide, geminin ağırlık merkezinden yatay olarak etki eden bir merkezkaç kuvvet oluşur. Bu kuvvet, gemi bordasına etki eden yatay su basıncıyla dengelenir (Şekil 3). Meyil kuvvetinin etki noktası dışında durum yandan rüzgâr almaya benzer; gemi, ağırlık ve kaldırma kuvvetlerinin momenti merkezkaç kuvvet ve su basıncının momentine eşit olana kadar meyil eder.

Şekil 3. Yüksek hızda dönüş

1.4 Karaya oturma

Gemi, dibin meyle karşı az direnç gösterdiği bir biçimde karaya oturursa (Şekil 4) dibin tepkisi bir meyil momenti oluşturabilir. Karaya oturma sırasında ileri hareketin enerjisinin bir kısmı gemiyi kaldırmaya harcanabilir; bu durumda dip ile gemi arasında bir R tepki kuvveti oluşur. Gemi hem kaldırma kuvveti hem de dibin tepkisiyle taşındığından kaldırma kuvveti gemi ağırlığından küçük olur. Gemi, kaldırma kuvvetinin temas noktasına göre momenti, ağırlığın aynı noktaya göre momentine eşit olana kadar meyil eder:

(W - R) a = W b

Şekil 4. Karaya oturma

Dış kuvvetlerin meyil oluşturduğu başka durumlar da vardır: bağlı bir gemi, bağlama halatlarındaki çekme ile rüzgâr ya da akıntının basıncı nedeniyle meyil edebilir; yedekleme halatındaki çekme de yedekleyen ya da yedeklenen gemide meyil momenti oluşturabilir. Her durumda denge, sephiye merkezi meyil ve doğrultucu momentlerin dengelendiği noktaya kaydığında sağlanır.

1.5 Gemideki ağırlıkların kaydırılması

Yolcular, sıvılar ya da yük gibi gemide bulunan ağırlıkların hareketi geminin ağırlık merkezini kaydırır. Bir ağırlık A'dan B'ye taşınırsa (Şekil 5) geminin ağırlık merkezi, ağırlığın hareket doğrultusuna paralel olarak G'den G₁'e kayar. Gemi, sephiye merkezi G₁'in tam altına gelene kadar meyil eder.

Şekil 5. Gemideki bir ağırlığın kaydırılmasının etkisi

2 Enine Metasantr

Çok küçük bir $δ φ$ açısıyla meyil etmiş simetrik bir gemiyi ele alalım (Şekil 6). Küçük açılarda dik ve meyilli su hatları, su hattı üzerinde kesişir. Deplasman sabit kaldığından çıkan ve batan kamaların hacimleri eşit olmalıdır. Meyil nedeniyle sephiye merkezi simetri ekseninden ayrılır ve ağırlık ile kaldırma kuvvetlerinin doğrultuları arasında GZ kadar bir uzaklık (doğrultucu kol) oluşur. $δ φ \to 0$ iken sephiye merkezinden geçen düşey doğrunun simetri eksenini kestiği M noktasına enine metasantr denir.

Şekil 6. Enine metasantr ve doğrultucu kol

Su hattı civarında gemi formunda ani bir değişiklik yoksa M noktası, yaklaşık 7–10°'ye kadar küçük açılarda gemiye göre pratik olarak sabit kalır. G ve M'nin konumları biliniyorsa küçük meyil açılarındaki doğrultucu kol yeterli doğrulukla şöyle hesaplanır:

GZ ≅ GM \sin φ

Bu nedenle GM, küçük meyil açılarında enine stabilitenin bir göstergesidir ve enine metasantr yüksekliği adını alır. Ağırlık ve kaldırma kuvvetlerinin momenti gemiyi dik konuma döndürmeye çalıştığında GZ pozitif kabul edildiğinden, M, G'nin üstündeyse GM pozitif; altındaysa negatiftir.

2.1 Metasantr yarıçapı (BM)

Küçük bir $φ$ açısıyla (2–3° gibi) meyil etmiş simetrik bir gemiyi ele alalım (Şekil 7).

Şekil 7. Metasantr yarıçapı

Küçük açılarda çıkan ve batan kamalar yaklaşık üçgendir. $y$ , kesitteki ilk su hattının yarı genişliği ise her kamanın kesit alanı ve dx boyundaki hacmi:

d A = \frac{1}{2} y^{2} φ d V = \frac{1}{2} y^{2} φ d x

Kamaların ağırlık merkezleri arasındaki uzaklık $\frac{4}{3} y$ olduğundan, hacim kaymasının momenti:

M = \int_{0}^{L} \frac{2}{3} y^{3} φ d x = φ \int_{0}^{L} \frac{2}{3} y^{3} d x = I_{x} φ = \nabla {BB}_{1}

Buradaki integral $I_{x}$ , su hattı alanının simetri eksenine göre atalet momentidir. Şekil 7'den küçük açılar için ${BB}_{1} = BM φ$ olduğundan:

\nabla BM φ = I_{x} φ \Rightarrow BM = \frac{I_{x}}{\nabla}

Yani metasantrın sephiye merkezinden yüksekliği, su hattı alanının kendi simetri eksenine göre atalet momentinin deplasman hacmine bölünmesiyle bulunur.

2.2 Metasantr diyagramı

Metasantr diyagramı, tasarım su hattına paralel bir dizi su hattı için sephiye merkezi ile metasantrın yüksekliklerindeki değişimi göstermenin kullanışlı bir yoludur. B ve M'nin konumları yalnızca geminin geometrisine ve yüzdüğü su hattına bağlıdır.

Tipik bir metasantr diyagramı Şekil 8'de görülmektedir. Düşey ölçek draftı gösterir ve bu ölçeğe 45°'lik bir doğru çizilir. Belirli bir T draftı için çizilen yatay doğru 45°'lik doğruyu D noktasında keser; D'den düşey bir doğru çizilir. Bu düşey doğru üzerinde DM metasantrın su hattından yüksekliğini, DB ise sephiye merkezinin su hattından derinliğini gösterir. İşlem yeterli sayıda draft için tekrarlanarak metasantr (M) ve sephiye merkezi (B) eğrileri elde edilir. Diyagramın soluna, tipik yükleme durumlarındaki draftlar için deplasman ve $T_{1}$ değerlerinin listelendiği bir tablo eklenebilir.

Şekil 8. Metasantr diyagramı

KB, normal işletme aralığında drafta yaklaşık orantılı olduğundan alışılmış gemi formlarında B eğrisi genellikle doğruya yakındır. M eğrisi ise sığ draftlarda draft arttıkça hızla düşer, sonra yataylaşır ve çok derin draftlarda yeniden yükselmeye başlayabilir.

Basit geometrik formlar için metasantr diyagramları:

Kesit	KB	BM	KM	KM'nin en küçük olduğu draft
Dikdörtgen (genişlik B)	$\frac{T}{2}$	$\frac{B^{2}}{12 T}$	$\frac{T}{2} + \frac{B^{2}}{12 T}$	$T = \frac{B}{\sqrt{6}}$
Üçgen, tepesi aşağıda (su hattı genişliği B)	$\frac{2 T}{3}$	$\frac{B^{2}}{6 T}$	$\frac{2 T}{3} + \frac{B^{2}}{6 T}$	$T = \frac{B}{2}$
Daire (yarıçap r, ekseni yatay)	Kaldırma kuvveti her su hattında ve her meyilde merkezden geçer: $KM = r$ (drafttan bağımsız)			–

Dikdörtgen kesitte KM, genişliğe ve drafta bağlıdır, boya bağlı değildir. Sıfır draftta KM sonsuza gider; küçük draftlarda ikinci terim baskındır. KM'nin en küçük olduğu draft, KM ifadesinin T'ye göre türevi sıfıra eşitlenerek bulunur.

3 Başlangıç Stabilitesinin Ölçülmesi

Ağırlık merkezi ile metasantr arasındaki uzaklık metasantr yüksekliğidir (GM) ve geminin 0°'den 7–10°'ye kadar küçük meyil açılarındaki başlangıç stabilitesini gösterir:

GM = KM - KG KM = KB + BM GM = KB + BM - KG

GM, başlangıç enine stabilitesinin temel göstergesidir. Pozitif olmalıdır, ancak çok yüksek değerlerden de kaçınılmalıdır: GM, geminin yalpadaki sertliğinin bir ölçüsüdür ve yalpa periyodunu büyük ölçüde belirler. Çok yüksek GM çok kısa (sert) bir yalpa periyodu verir.

Bir geminin gerçek GM değeri meyil deneyiyle bulunur (bkz. Meyil Deneyi). Tasarımın ilk aşamalarında yeterli başlangıç stabilitesini güvenceye almak için GM yaklaşık formüllerle hesaplanabilir:

Kaynak	Yaklaşık formül
Posdunine	$KB = T (\frac{C_{WP}}{C_{B} + C_{WP}})$
Morrish	$KB = \frac{5 T}{6} - \frac{\nabla}{3 A_{WP}} = \frac{T}{3} (2,5 - \frac{C_{B}}{C_{WP}})$
Normand	$KB = T (0,9 - 0,36 C_{M})$
Schneekluth	$KB = T (0,9 - 0,3 C_{M} - 0,1 C_{B})$
Bauer	$KB = T (0,828 - 0,343 \frac{C_{B}}{C_{WP}})$
Henschke	$KB = T (1,1 - 0,6 C_{M})$
Robb	$BM = \frac{B^{2}}{T} (\frac{1}{16 - 7 C_{B}})$
Riddlesworth	$BM = \frac{B^{2}}{T} (0,09 - \frac{0,0067}{C_{B}})$
Eames	$BM = \frac{B^{2}}{T} (\frac{C_{WP} (0,727 C_{WP} + 0,0106 - 0,003)}{C_{B}})$
D'Arcangelo	$BM = \frac{B^{2}}{T} (\frac{0,1216 C_{WP} - 0,0410}{C_{B}})$
Kiss	$BM = \frac{B^{2}}{T} (\frac{0,09377 C_{P} - 0,0122}{C_{B}})$
Brown	$BM = \frac{B^{2}}{T} (\frac{0,0861 C_{P} - 0,008}{C_{B}})$
McCloghrie	$BM = \frac{B^{2}}{T} (\frac{C_{WP}^{2}}{12 C_{B}})$
Posdunine	$BM = \frac{B^{2}}{T} (\frac{C_{WP} (C_{WP} + 0,04)}{12 C_{B}})$
Rauert	$BM = \frac{B^{2}}{T} (\frac{57 C_{WP} - 22}{420 C_{B}})$

Ağırlık merkezinin yüksekliği ilk tahminde $KG = a D$ (D: derinlik) alınabilir:

Gemi tipi	a
Tanker	0,69
Dökme yük gemisi	0,68
Kuru yük gemisi	0,72
Yolcu gemisi	0,75

4 Duvar Bordalı Formül

Küçük meyil açılarında doğrultucu kolun $GZ ≅ GM φ$ olduğunu gördük. Su hattı civarında bordaları düşey olan (duvar bordalı) gemiler için 10° civarındaki açılarda daha doğru bir formül vardır. Bu gemilerin sintine dönümü olabilir, ancak meyille su yüzüne çıkmamalı; güverte kenarı da suya girmemelidir. Duvar bordalı gemide çıkan ve batan kamaların kesitleri, alanları eşit dik üçgenlerdir (Şekil 9).

Şekil 9. Duvar bordalı kesitte meyil

Hacim kaymasının enine ve düşey momentleri ( $I$ : su hattı alanının simetri eksenine göre atalet momenti):

M_{T} = \int \frac{2}{3} y^{3} \tan φ d x = I \tan φ M_{V} = \int \frac{y^{3}}{3} \tan^{2} φ d x = \frac{1}{2} I \tan^{2} φ

{BB}_{1} = \frac{M_{T}}{\nabla} = BM \tan φ B_{1} R = \frac{M_{V}}{\nabla} = \frac{1}{2} BM \tan^{2} φ

Şekilden $BR = {BB}_{1} \cos φ + B_{1} R \sin φ = \sin φ (BM + \frac{1}{2} BM \tan^{2} φ)$ ve $GZ = BR - BG \sin φ$ olduğundan:

GZ = \sin φ (GM + \frac{1}{2} BM \tan^{2} φ)

Küçük açılarda bu formül $GZ = GM \sin φ$ 'ye dönüşür. Büyük meyil açılarında geçerli değildir.

5 Loll Açısı

Bazı yükleme durumlarında bir geminin dik konumdaki GM'si negatif olabilir. Bu durumda GZ eğrisi başlangıçta negatif eğimlidir (Şekil 10). Gemi daha büyük açılara meyil ettikçe GZ artar ve loll açısı denen bir açıda pozitif olur. Gemi dik konumda kararsız dengededir ve hızla loll açısına yatar.

Şekil 10. Loll açısı

Loll açısı duvar bordalı formülle tahmin edilebilir. Denge GZ = 0 iken sağlanır:

GZ = \sin φ (GM + \frac{1}{2} BM \tan^{2} φ) = 0

Bu koşulu iki değer sağlar. Birincisi $φ = 0$ 'dır (dik konum). İkincisi:

GM + \frac{1}{2} BM \tan^{2} φ = 0 \Rightarrow \tan^{2} φ = - \frac{2 GM}{BM}

GM ve BM pozitifken bu denklemin çözümü yoktur; dik konum tek denge konumudur. Bu, GM = 0 durumu için de geçerlidir: gemi dik konumda nötr değil, kararlıdır. GM negatifse sıfıra ek olarak iki çözüm vardır (sıfır bu durumda kararsız denge konumudur); bunlar dik konumun iki yanındaki loll açılarıdır:

\tan φ = \pm \sqrt{- \frac{2 GM}{BM}}

Gemi iki taraftan birini tercih etmez. Loll konumu civarındaki küçük meyiller için etkin metasantr yüksekliği, GZ eğrisinin o noktadaki eğimidir:

\frac{d G Z}{d φ} = \cos φ (GM + \frac{1}{2} BM \tan^{2} φ) + \sin φ BM \tan φ \sec^{2} φ \Rightarrow {GM}_{loll} = \frac{- 2 GM}{\cos φ_{1}}

Dikkat: Loll durumunu tanımak önemlidir, çünkü tehlikelidir. Meyilden farklı olarak, gemiye ters bir moment uygulanarak düzeltilemez; bu yalnızca geminin diğer tarafa, daha büyük bir açıya hızla yatmasına yol açar.

6 Statik Stabilite Eğrisi

GZ'nin meyil açısıyla değişimini gösteren tipik bir eğri Şekil 11'de verilmiştir. Buna statik stabilite eğrisi ya da GZ eğrisi denir. Eğrinin önemli özellikleri:

Küçük açılarda $GZ ≅ GM φ$ 'dir. Eğrinin başlangıçtaki eğimi $\frac{d G Z}{d φ} = \frac{d (GM φ)}{d φ} = GM$ 'dir; başlangıç eğimi $φ = 1$ radyana uzatılırsa ordinat GM'ye eşit olur.
$φ$ küçük değerlerin ötesine geçtikçe eğrinin eğimi genellikle başlangıç eğiminin üstüne çıkar. Duvar bordalı gemide bu, duvar bordalı formülle öngörülür (BM her zaman pozitiftir). Yuvarlak sintineli gemilerde bu artış küçük, hatta negatif olabilir.
B noktasında eğride bir büküm noktası vardır ve eğim azalmaya başlar. Bu, güverte kenarının suya girmesi ya da sintine dönümünün su yüzüne çıkmasıyla ilgilidir; bu noktada su hattı genişliği artmayı bırakıp azalmaya başlar.
C noktasında GZ en büyük değerine ( ${GZ}_{max}$ ) ulaşır. Gemiye $Δ {GZ}_{max}$ 'tan büyük sürekli bir devirici moment uygulanırsa gemi alabora olur.
D noktasında GZ sıfır olur. Bu noktaya stabilitenin kaybolduğu nokta, OD uzaklığına da stabilite aralığı denir.
GZ eğrisinin altındaki alan, gemiyi sürekli koşullarda meyil ettirmek için yapılan işin ölçüsüdür. Geminin yalpada enerji soğurma yeteneğiyle ilgili olduğundan dinamik stabilite de denir.

Şekil 11. Statik stabilite eğrisi

GZ eğrileri normalde bir dizi yükleme durumu için hazırlanır ve ilgili durumda beklenen serbest yüzey etkilerine göre düzeltilir. GZ eğrilerinin bazı eksiklikleri vardır:

Çok büyük meyil açılarında, örneğin yük kayması nedeniyle ağırlık merkezinde oluşan değişimleri hesaba katmaz.
Büyük açılarda güverte açıklıkları ya da makine hava girişleri gibi yerlerden gemiye su girmesini hesaba katmaz.
Yarı statik koşulları varsayar; ağır denizde bu koşullar kesinlikle sağlanmaz.

7 Çapraz Stabilite Eğrileri

Bu eğriler, sabit bir açıda meyilli gemi için doğrultucu kol KZ ile deplasman arasındaki ilişkiyi gösterir. Deplasman, boş gemiden olası en büyük yükleme durumuna kadar olan aralığı kapsar (Şekil 12).

Şekil 12. Çapraz stabilite eğrileri (eğriler üzerindeki sayılar meyil açısıdır)

8 Serbest Yüzey Etkisi

Şimdiye kadar gemideki yüklerin gemi meyil ettikçe yer değiştirmediğini kabul ettik. Gerçekte gemilerde yakıt ve su gibi sıvıların bulunduğu tanklar vardır. Bu tanklar tamamen doluysa (pres doluysa) sıvı katı gibi davranır. Tank kısmen doluysa sıvı, gemi meyil ettikçe alçak tarafa doğru akar. Şekil 13'te $ρ_{1}$ yoğunluğundaki sıvının ağırlık merkezi g noktasından g′ noktasına kayar. Bu, geminin ağırlık merkezini G noktasından, kaldırma kuvveti doğrultusuna daha yakın olan G′ noktasına kaydırır ve doğrultucu momenti azaltır.

Şekil 13. Serbest yüzey etkisi: G görünürde G″ noktasına yükselir

Küçük meyil açılarında yeni doğrultucu kol:

G^{'} Z^{'} ≅ GZ - {GG}^{'} ≅ GZ - {GG}^{″} φ ≅ G^{″} M φ ≅ (GM - {GG}^{″}) φ

Yani metasantr yüksekliğinde GG″ kadar görünür bir kayıp oluşur. G'ye göre moment alınırsa ( $w_{1}$ : tanktaki sıvının ağırlığı):

Δ {GG}^{'} = w_{1} g g^{'}

$g g^{'} ≅ b b^{'}$ kabul edilebilir ( $i$ : tanktaki sıvının serbest yüzeyinin atalet momenti, $v$ : sıvının hacmi):

g g^{'} ≅ b b^{'} = b m φ = \frac{i}{v} φ \Rightarrow {GG}^{'} = \frac{i}{\nabla} \frac{ρ_{1}}{ρ_{S}} φ \Rightarrow {GG}^{″} = \frac{i}{\nabla} \frac{ρ_{1}}{ρ_{S}}

Bu, tanktaki sıvının serbest yüzeyi nedeniyle GM'deki görünür kayıptır. Birden çok tank varsa toplam kayıp, tek tek etkilerin toplamıdır:

\sum {GG}^{″} = \sum \frac{i}{\nabla} \frac{ρ_{1}}{ρ_{S}}

Serbest yüzey etkisiyle ilgili önemli noktalar:

Serbest yüzey etkisi her zaman stabiliteyi azaltır.
Sıvının hacmine bağlı değildir; serbest yüzey büyükse az miktarda sıvı bile büyük etki yapabilir.
Tankın düşey ya da yatay konumuna bağlı değildir.
Serbest yüzeyin boyutlarına, özellikle genişliğine çok bağlıdır (tıpkı gemi genişliğinin GM'yi büyük ölçüde etkilemesi gibi).

Serbest yüzey etkisini azaltmanın en iyi yolu, tankları bölerek sıvının toplu hareketini önlemektir. Bölmeler tamamen ayrı tanklar oluşturmalıdır; yalnızca serbest yüzeyin bölünmesi etkisizdir, çünkü sıvı yüzeyin altından toplu olarak hareket etmeye devam edebilir.

Serbest yüzey etkisi, su hattına yakın geniş güverteleri olan gemiler (örneğin Ro-Ro feribotları) için özellikle tehlikelidir. Bir araç feribotunun güvertesinin alanı ve atalet momenti, yüklü su hattınınkine eşit ya da ondan büyük olabilir. Bir kazada güverte sığ bir deniz suyu tabakasıyla bile kaplanırsa GM kaybı yaklaşık $i_{güverte} / \nabla$ olur. Bu kayıp geminin GM'sinden büyükse gemi dik konumda negatif stabiliteye düşer ve alabora olabilir.

9 Ağırlık Kaydırma, Ekleme ve Çıkarma

9.1 Düşey ağırlık kaydırma

Şekil 14. Ağırlığın düşey kaydırılması

Gemide bulunan w tonluk bir ağırlık h metre yükseltilirse ağırlık merkezi şu kadar yükselir:

{GG}_{1} = \frac{w h}{Δ}

Deplasman ve draft değişmediğinden metasantrın konumu da değişmez; metasantr yüksekliği GG₁ kadar azalır.

9.2 Yatay ağırlık kaydırma

Bir ağırlığın gemi içinde nerede olursa olsun yatay kaydırılması, geminin ağırlık merkezini her zaman aynı yönde kaydırır ve gemide meyil oluşturur. Meyil açısı (w: kaydırılan ağırlık, d: yatay kaydırma uzaklığı):

\tan φ = \frac{w d}{Δ GM}

Şekil 15. Ağırlığın yatay kaydırılması

9.3 Ağırlık ekleme ve çıkarma

Bu, düşey kaydırmaya göre daha karmaşık bir problemdir: ağırlık eklemek ya da çıkarmak hem geminin ağırlık merkezinin konumunu hem de draftı, dolayısıyla metasantrın konumunu değiştirir (Şekil 16).

Şekil 16. Ağırlık eklenmesi

Paralel batma: p = \frac{w}{T_{1}} Ağırlık merkezi: {KG}_{1} = \frac{Δ KG + w h}{Δ + w}

Sephiye merkezi: {KB}_{1} = \frac{Δ KB + w (T + \frac{p}{2})}{Δ + w} Metasantr yarıçapı: {BM}_{1} ≅ BM \frac{\nabla}{\nabla_{1}}

Metasantr yüksekliği: {GM}_{1} = {KB}_{1} + {BM}_{1} - {KG}_{1} Meyil açısı: \tan φ = \frac{w d}{Δ_{1} {GM}_{1}}

${BM}_{1}$ hesabında su hattı alanının ve dolayısıyla atalet momentinin yükleme ile değişmediği kabul edilmiştir.

10 GM'nin Deneyle Bulunması

Geminin gerçek ağırlık merkezi ve metasantr yüksekliği meyil deneyi ile bulunur: bilinen bir w ağırlığı d kadar enine kaydırılır ve oluşan $φ$ meyil açısı sarkaçlarla ölçülür:

GM = \frac{w d}{Δ \tan φ}

Küçük teknelerde GM, yalpa periyodu deneyi ile de yaklaşık olarak bulunabilir. Deneylerin yapılışı, doğruluğu ve çözümlü örnekleri için Meyil Deneyi sayfasına bakınız.

11 Çözümlü Örnekler

Örnek 1

Sabit dikdörtgen kesitli bir dubanın metasantr diyagramını çiziniz.

Çözümü gösterÇözümü gizle

Dubanın boyu, genişliği ve draftı L, B ve T olsun:

KB = \frac{T}{2} BM = \frac{I}{\nabla} = \frac{L B^{3}}{12 L B T} = \frac{B^{2}}{12 T} KM = KB + BM = \frac{T}{2} + \frac{B^{2}}{12 T}

Diyagram, genişliği B = 2 m olan bir duba için çizilmiştir. Draft 0,1 m'den 1,0 m'ye kadar 0,1 m aralıklarla alınır ve her draftta KB, BM ve KM yukarıdaki formüllerle hesaplanır:

T (m)	0,1	0,2	0,3	0,4	0,5	0,6	0,7	0,8	0,9	1,0
KB = T/2	0,05	0,10	0,15	0,20	0,25	0,30	0,35	0,40	0,45	0,50
BM = B²/12T	3,33	1,67	1,11	0,83	0,67	0,56	0,48	0,42	0,37	0,33
KM = KB + BM	3,38	1,77	1,26	1,03	0,92	0,86	0,83	0,82	0,82	0,83

Yatay eksende draft, düşey eksende omurgadan yükseklik (m) vardır. KB doğrusu (mavi) sephiye merkezinin, KM eğrisi (sarı üçgenler) metasantrın yüksekliğini gösterir. T doğrusu (pembe), metasantr diyagramlarındaki 45°'lik doğrudur: belirli bir draftta bu doğru üzerindeki nokta su hattını gösterir; su hattı ile KM eğrisi arasındaki uzaklık metasantrın su hattından yüksekliğini, su hattı ile KB doğrusu arasındaki uzaklık da sephiye merkezinin su hattından derinliğini verir. KM, sığ draftlarda çok büyüktür ve en küçük değerini $T = B / \sqrt{6} = 0,82$ m'de alır.

Şekil 17. Dikdörtgen kesitli dubanın metasantr diyagramı (B = 2 m)

Örnek 2

30 m boyunda, 6 m genişliğinde ve 6 m derinliğinde dikdörtgen bir duba 2 m draftla yüzmektedir; KG = 3 m'dir. Loll açısını bulunuz.

Çözümü gösterÇözümü gizle

GM = KB + BM - KG = \frac{T}{2} + \frac{B^{2}}{12 T} - KG = 1 + 1,5 - 3 = - 0,5 m

\tan φ = \sqrt{- \frac{2 GM}{BM}} = \sqrt{\frac{2 \times 0,5}{1,5}} = 0,816 \Rightarrow φ = 39^{\circ}

Örnek 3

Bir gemi deniz suyunda 6,5 m draftla yüzmektedir. Bu draftta hidrostatik eğrilerden deplasman 13 600 t ve KM = 9,30 m okunmaktadır; KG = 8,65 m'dir. 220 tonluk güverte yükü 8,55 m aşağıdaki ambara indiriliyor. Kaydırmadan sonra draftı, deplasmanı, KG ve GM'yi bulunuz.

Çözümü gösterÇözümü gizle

Gemiye ağırlık eklenmediğinden ya da çıkarılmadığından draft, deplasman ve KM değişmez.

{GG}_{1} = \frac{w h}{Δ} = \frac{220 \times 8,55}{13 600} = 0,138 m {KG}_{1} = KG - {GG}_{1} = 8,65 - 0,138 = 8,512 m

G_{1} M = KM - {KG}_{1} = 9,30 - 8,512 = 0,788 m

Örnek 4

7200 ton deplasmanlı bir gemide 100 ton yük üst güverteden ambarın dibine indiriliyor. Yükün ağırlık merkezi 7,20 m aşağı indiğine göre metasantr yüksekliği ne kadar değişir?

Çözümü gösterÇözümü gizle

{GG}_{1} = \frac{w h}{Δ} = \frac{100 \times 7,2}{7200} = 0,10 m δ GM = {GG}_{1} = 0,10 m (artış)

Örnek 5

10 m boyunda ve 6 m genişliğinde kutu biçimli bir tekne tatlı suda 2 m draftla yüzmektedir. 2 tonluk bir ağırlık yatay olarak 5 m kaydırılıyor. KG = 1,8 m olduğuna göre meyil açısını hesaplayınız.

Çözümü gösterÇözümü gizle

Δ = L B T ρ = 10 \times 6 \times 2 \times 1 = 120 t

GM = \frac{T}{2} + \frac{B^{2}}{12 T} - KG = \frac{2}{2} + \frac{6 \times 6}{12 \times 2} - 1,8 = 0,70 m

\tan φ = \frac{w d}{Δ GM} = \frac{2 \times 5}{120 \times 0,70} = 0,119 \Rightarrow φ = 6, 79^{\circ}

Örnek 6

28 000 ton deplasmanlı bir gemide KG = 10,8 m ve KM = 12,8 m'dir. 360 tonluk bir ağırlık güverteye, omurgadan 18,6 m yükseğe ve simetri ekseninin 6,3 m sancağına yükleniyor. Ağırlığın neden olduğu meyil açısını bulunuz (yükleme ile KM'nin değişmediğini kabul ediniz).

Çözümü gösterÇözümü gizle

Δ = Δ_{0} + w = 28 000 + 360 = 28 360 t {GG}_{1} = \frac{w h}{Δ} = \frac{360 \times (18,6 - 10,8)}{28 360} = 0,099 m

{KG}_{1} = 10,8 + 0,099 = 10,899 m G_{1} M = KM - {KG}_{1} = 12,8 - 10,899 = 1,901 m

\tan φ = \frac{w d}{Δ G_{1} M} = \frac{360 \times 6,3}{28 360 \times 1,901} = 0,042 \Rightarrow φ = 2, 41^{\circ}

Örnek 7

8000 ton deplasmanlı bir geminin başlangıç stabilitesi GM = 0,5 m'dir. Ambardaki 80 tonluk bir ağırlık 1,5 m yukarı ve 6,1 m sancağa taşınıyor. Meyil açısını bulunuz.

Çözümü gösterÇözümü gizle

δ KG = \frac{w h}{Δ} = \frac{80 \times 1,5}{8000} = 0,015 m {GM}_{1} = GM - δ KG = 0,5 - 0,015 = 0,485 m

\tan φ = \frac{w d}{Δ {GM}_{1}} = \frac{80 \times 6,1}{8000 \times 0,485} = 0,126 \Rightarrow φ = 7, 2^{\circ}

Örnek 8

3000 ton deplasmanlı bir gemi, kendi vinciyle 20 tonluk bir konteyner yüklüyor. Vinç kolunun ucunun omurgadan yüksekliği 25 m'dir. Kol 8 m uzunluğunda olup simetri düzlemine diktir; konteyner kolun ucunda 12 m'lik bir halata asılıdır. Yüklemeden önce geminin hidrostatik özellikleri: draft T = 4,25 m, $T_{1}$ = 5 t/cm, KG = 6,5 m, BM = 5,65 m, KB = 2,5 m. Oluşan meyil açısını hesaplayınız.

Çözümü gösterÇözümü gizle

Asılı yükün ağırlığı vinç kolunun ucundan etki eder (Kg = 25 m, d = 8 m).

p = \frac{w}{T_{1}} = \frac{20}{5} = 4 cm = 0,04 m Δ_{1} = Δ + w = 3000 + 20 = 3020 t

{KB}_{1} = \frac{Δ {KB}_{0} + w (T + \frac{p}{2})}{Δ_{1}} = \frac{3000 \times 2,5 + 20 \times (4,25 + 0,02)}{3020} = 2,51 m

{KG}_{1} = \frac{Δ KG + w K g}{Δ_{1}} = \frac{3000 \times 6,5 + 20 \times 25}{3020} = 6,62 m

Su hattı formunun yüklemeden sonra aynı kaldığı, dolayısıyla atalet momentinin değişmediği kabul edilebilir:

{BM}_{0} = \frac{I}{\nabla} \Rightarrow I = \nabla {BM}_{0} {BM}_{1} = \frac{{BM}_{0} \nabla}{\nabla_{1}} = \frac{3000 \times 5,65}{3020} = 5,61 m

{GM}_{1} = {KB}_{1} + {BM}_{1} - {KG}_{1} = 2,51 + 5,61 - 6,62 = 1,50 m

\tan φ = \frac{w d}{Δ_{1} {GM}_{1}} = \frac{20 \times 8}{3020 \times 1,50} = 0,035 \Rightarrow φ = 2^{\circ}

Örnek 9

Deplasmanı Δ = 8500 ton olan bir gemi iskeleye 2,5° meyilli yüzmektedir. Başlangıçta metasantrın ve ağırlık merkezinin omurgadan yükseklikleri sırasıyla 5,5 m ve 4,6 m'dir. Geminin güvertesine, ağırlık merkezi simetri düzleminin 7,5 m sancağında ve omurgadan 7 m yukarıda olacak şekilde 90 tonluk bir lokomotif yükleniyor. Bu yükleme sonucu meyil açısını bulunuz. Gemiyi meyilsiz duruma getirmek için 40 tonluk bir yük güvertede (omurgadan 7 m yükseklikte) hangi noktaya konmalıdır? Paralel batma ve dolayısıyla KM ile BM'deki değişimler ihmal edilecektir.

Çözümü gösterÇözümü gizle

Lokomotifin yüklenmesi sonucu oluşan meyil açısı:

Δ_{1} = Δ_{0} + w = 8500 + 90 = 8590 t Δ_{1} {KG}_{1} = Δ_{0} {KG}_{0} + w K g \Rightarrow 8590 {KG}_{1} = 8500 \times 4,6 + 90 \times 7 \Rightarrow {KG}_{1} = 4,625 m

{GM}_{1} = {KM}_{0} - {KG}_{1} = 5,5 - 4,625 = 0,875 m

\tan φ = \frac{w d}{Δ_{1} {GM}_{1}} = \frac{90 \times 7,5}{8590 \times 0,875} = 0,0898 \Rightarrow φ = 5, 13^{\circ} (sancağa)

Yeni meyil açısı: $5, 13^{\circ} - 2, 5^{\circ} = 2, 63^{\circ}$ (sancağa). 40 tonluk yükün yüklenmesi:

Δ_{2} = 8590 + 40 = 8630 t 8630 {KG}_{2} = 8590 \times 4,625 + 40 \times 7 \Rightarrow {KG}_{2} = 4,636 m

{GM}_{2} = {KM}_{0} - {KG}_{2} = 5,5 - 4,636 = 0,864 m

Düzeltilecek meyil 2,63°'dir ( $\tan φ = 0,0460$ ). Yükün simetri düzleminden uzaklığı:

\tan φ = \frac{w d}{Δ_{2} {GM}_{2}} \Rightarrow d = \frac{Δ_{2} {GM}_{2} \tan φ}{w} = \frac{8630 \times 0,864 \times 0,0460}{40} = 8,57 m (iskele tarafında)

Örnek 10

L = 85 m boyunda ve B = 13 m genişliğinde bir gemi T = 4 m draftla yüzmektedir. Temel hidrostatik özellikleri: $C_{B}$ = 0,70, $A_{WP}$ = 800 m², KG = 3,75 m, BM = 3,5 m, KB = 2,18 m, deniz suyu yoğunluğu ρ = 1,025 t/m³. Geminin simetri düzleminden 2 m uzaklıkta, sancak ve iskelede birer bumba vardır. Bumba kollarının uçlarının simetri düzlemine uzaklığı 10 m, omurgadan yüksekliği 15 m'dir. Bumbalardan biriyle 100 tonluk bir konteyner gemiye yüklenecektir. Konteyner omurgadan 8 m yukarıdayken geminin yapacağı meyil açısını hesaplayınız.

Çözümü gösterÇözümü gizle

Konteyner asılı olduğundan ağırlığı, yüksekliği ne olursa olsun bumba kolunun ucundan etki eder (Kg = 15 m, d = 10 m).

p = \frac{w}{T_{1}} = \frac{w}{ρ A_{WP} / 100} = \frac{100}{800 \times 1,025 / 100} = 12,2 cm = 0,122 m

\nabla = L B T C_{B} = 85 \times 13 \times 4 \times 0,7 = 3094 m^{3} Δ = \nabla ρ = 3094 \times 1,025 = 3171 t Δ_{1} = 3171 + 100 = 3271 t

\nabla_{1} = \frac{Δ_{1}}{ρ} = \frac{3271}{1,025} = 3192 m^{3}

{KB}_{1} = \frac{Δ {KB}_{0} + w (T + \frac{p}{2})}{Δ_{1}} = \frac{3171 \times 2,18 + 100 \times (4 + 0,061)}{3271} = 2,238 m

{KG}_{1} = \frac{Δ KG + w K g}{Δ_{1}} = \frac{3171 \times 3,75 + 100 \times 15}{3271} = 4,094 m

Su hattı formunun pek değişmediği, dolayısıyla atalet momentinin aynı kaldığı kabul edilebilir:

{BM}_{1} = \frac{{BM}_{0} \nabla}{\nabla_{1}} = \frac{3094 \times 3,5}{3192} = 3,393 m

{GM}_{1} = {KB}_{1} + {BM}_{1} - {KG}_{1} = 2,238 + 3,393 - 4,094 = 1,537 m

\tan φ = \frac{w d}{Δ_{1} {GM}_{1}} = \frac{100 \times 10}{3271 \times 1,537} = 0,199 \Rightarrow φ = 11, 3^{\circ}

Örnek 11

Tuzlu suda 640 ton deplasmanlı bir gemi meyil ettirildiğinde GM = 0,375 m bulunmuştur; ancak gemide şu serbest yüzeyler vardır:

enine 2 m × 4 m'lik bir yakıt tankı ( $ρ$ = 0,925 t/m³),
enine 4 m × 5 m'lik bir su balast tankı,
her biri enine 1 m × 2 m'lik iki tatlı su tankı.

Düzeltilmiş GM nedir?

Çözümü gösterÇözümü gizle

Serbest yüzeylerin atalet momenti, yüzeyin enine boyutu b ve boyuna boyutu l olmak üzere $i = l b^{3} / 12$ 'dir.

Yakıt tankındaki serbest yüzey nedeniyle:

{GG}_{1} = \frac{i}{\nabla} \frac{ρ_{1}}{ρ_{S}} = \frac{2 \times 4^{3} / 12}{640 / 1,025} \times \frac{0,925}{1,025} = 0,0154 m

Su balast tankındaki serbest yüzey nedeniyle:

{GG}_{1} = \frac{4 \times 5^{3} / 12}{640 / 1,025} \times \frac{1,025}{1,025} = 0,0667 m

Tatlı su tanklarındaki serbest yüzeyler nedeniyle:

{GG}_{1} = 2 \times \frac{1 \times 2^{3} / 12}{640 / 1,025} \times \frac{1}{1,025} = 0,0021 m

Toplam serbest yüzey etkisi ve düzeltilmiş (katı) GM:

\sum {GG}_{1} = 0,0154 + 0,0667 + 0,0021 = 0,084 m GM = 0,375 + 0,084 = 0,459 m

Kaynak: Dr. Hakan Akyıldız, İTÜ Gemi İnşaatı ve Deniz Bilimleri Fakültesi