Sayısal İntegrasyon

Normalde integrali kâğıt üstünde formüllerle (analitik olarak) çözmek en kesin ve en temiz yoldur. Ancak pratikte işler her zaman bu kadar kolay olmaz.

Özellikle iki durumda sayısal integrasyon yöntemlerine ihtiyaç duyarız:

İntegral formülünün elle çözülemeyecek kadar karmaşık veya imkânsız olması,
Elimizde net bir matematiksel fonksiyon yerine, sadece deney veya sensörlerden toplanmış nokta verilerinin bulunması.

Ayrıca bilgisayar yazılımları integrali bizim gibi formüllerle değil, sayısal yöntemlerle yaklaşık hesaplar yaparak çözer. Bu nedenle bilgisayarlı mühendislik ve teknik hesaplamalarda sayısal integrasyon kaçınılmazdır.

Uzunluk, alan, hacim veya enerji gibi birçok fiziksel büyüklüğü hesaplarken tekli veya çok katlı integralleri kullanırız. Bu bölümde; formülle çözemediğimiz bu integralleri yaklaşık ama gerçeğe çok yakın şekilde hesaplamamızı sağlayan sayısal yöntemleri inceleyeceğiz.

Genel olarak bir f(x) işlevinin a ≤ x ≤ b aralığındaki belirli integrali I,

I = \int_{a}^{b} f (x) d x

(1)

şeklinde gösterilir. Buna tek katlı belirli integral denir. Bu integrasyon işlemi ile, Şekil 1‘de gösterildiği gibi geometrik olarak, integrali hesaplanan f(x) eğrisinin altında kalan a ≤ x ≤ b aralığındaki taralı alan hesaplanmış olur.

Şekil 1’deki taralı alanın dolayısıyla integralin hesabında genellikle a ≤ x ≤ b aralığı, Şekil 2‘deki gibi, Δx kalınlığında n dilime bölünür. Bu hesapta Δx kalınlığı

Δ x = \frac{b - a}{n}

(2)

olur. Burada a integralin alt sınır değeri, b üst sınır değeri ve n dilim sayısıdır. Eğer Δx dilim kalınlığı biliniyorsa n dilim sayısı

n = \frac{b - a}{Δ x}

(3)

işlemi ile hesaplanır. İntegral hesabı bu ayrıklaştırma işlemi ile, dilimlerin alanlarının tek tek, ikişer dilimli, üçer dilimli, … hesabına dönüşmüş olur. Bu şekilde hesaplanan alanlar toplanarak toplam alan veya integralin değeri hesaplanır.

Dilimlerin alanlarının veya integralin hesabında bir nokta, iki nokta, üç nokta ve dört nokta yaklaşımları yaygın olarak kullanılan yaklaşımlardır.

1 Dikdörtgen Yöntemi

Bir nokta yaklaşımında veya dikdörtgen yönteminde, Şekil 3‘ten de görüleceği gibi, x = a için f(a) noktasından x eksenine paralel doğru çizilerek birinci dikdörtgen dilim elde edilir. x = a + Δx için f(a + Δx) noktasından da x eksenine paralel doğru çizilerek ikinci dikdörtgen dilim elde edilir. Bu şekilde devam edilerek her noktadan x eksenine paralel doğrular çizilir ve dikdörtgen dilimler elde edilir. İntegralin değeri, bu dikdörtgen dilimlerin alanlarının toplamına yaklaşık eşittir.

Eğer dilimler farklı Δx kalınlıklarında ise integral

I = \int_{a}^{b} f (x) d x ≅ \sum_{j = 1}^{n} Δ x_{j} \cdot f (x_{j}) = \sum_{j = 1}^{n} S_{j}

(4)

olur. Genelde dilimler eşit Δx kalınlıklarında olur. Bu durumda integral

I = \int_{a}^{b} f (x) d x ≅ Δ x \cdot \sum_{j = 1}^{n} f (x_{j})

(5)

olur. Bu denklemde n dilim sayısı, Δx = (b − a)/n dir.

2 Yamuk (Trapez) Yöntemi

Yamuk yöntemi olarak tanınan iki nokta yaklaşımında birbiri ardından gelen her iki nokta bir doğru ile birleştirilerek Şekil 4‘teki gibi yamuk şekilli dilimler elde edilir. Böylece integral, yamukların alanlarının toplamına dönüştürülmüş olur.

Yamuğun alanı, paralel kenarlarının uzunluklarının toplamının bu iki kenar arasındaki uzaklığın yarısı ile çarpımına eşittir. Şekil 5‘te, yamuk yöntemi integrasyon bağıntısını elde etmek için Şekil 4’ten iki dilim ayrı olarak büyütülerek yeniden çizilmiştir.

Şekil 5’ten herbir dilim için

\int_{x_{j - 1}}^{x_{j}} f (x) d x ≅ \frac{Δ x}{2} (f_{j - 1} + f_{j})

\int_{x_{j}}^{x_{j + 1}} f (x) d x ≅ \frac{Δ x}{2} (f_{j} + f_{j + 1})

yazılır. İki dilim için

\int_{x_{j - 1}}^{x_{j + 1}} f (x) d x = \int_{x_{j - 1}}^{x_{j}} f (x) d x + \int_{x_{j}}^{x_{j + 1}} f (x) d x

≅ \frac{Δ x}{2} (f_{j - 1} + f_{j}) + \frac{Δ x}{2} (f_{j} + f_{j + 1})

= \frac{Δ x}{2} (f_{j - 1} + 2 f_{j} + f_{j + 1})

bulunur. Bu eşitlik genelleştirilecek olursa, bir f(x) işlevinin yamuk yöntemine göre a ≤ x ≤ b aralığındaki sayısal integrasyon eşitliği

I = \int_{a}^{b} f (x) d x ≅ \frac{Δ x}{2} [f (a) + 2 f (a + Δ x) + 2 f (a + 2 Δ x) + \dots + 2 f (a + (n - 1) Δ x) + f (b)]

(6)

veya

I = \int_{a}^{b} f (x) d x ≅ \frac{Δ x}{2} [f (a) + f (b) + 2 \sum_{j = 1}^{n - 1} f (a + j Δ x)]

(7)

elde edilir. Burada n dilim sayısıdır. Dilim kalınlığı ise

Δ x = \frac{b - a}{n}

olur. Genel olarak integral konusunu geometrik olarak anlamak kolay olmakla beraber, yöntemin, sonucun doğruluğu ve bunun iyileştirilmesi için yapılması gerekenler hakkında bilgi vermez. Ancak görüldüğü gibi, Δx dilim kalınlığı küçük veya n dilim sayısı büyük seçildikçe integrasyon sonucunun doğruluğu artmaktadır.

Yamuk yönteminde yöntemin hatasını azaltmak veya doğruluğunu arttırmak için uç düzeltmesi adı verilen işlem yapılır. Buna göre uç düzeltmeli yamuk yöntemi bağıntısı,

I = \int_{a}^{b} f (x) d x ≅ \frac{Δ x}{2} [f (a) + f (b) + 2 \sum_{j = 1}^{n - 1} f (a + j Δ x)] - \frac{(Δ x)^{2}}{12} [f^{'} (b) - f^{'} (a)]

(8)

olur. Burada son terime uç düzeltmesi terimi denir.

Örnek 1

$I = \int_{a}^{b} (3 x^{3} + 2 x^{2} + 5) d x$ integralini Δx = 0,5 alarak a) yamuk ve b) uç düzeltmeli yamuk yöntemleri ile hesaplayınız.

İntegralin analitik çözümü:

I = \int_{a}^{b} (3 x^{3} + 2 x^{2} + 5) d x = {\frac{3}{4} x^{4} + \frac{2}{3} x^{3} + 5 x |}_{0}^{3} = 93,75

Yamuk yöntemi ile çözüm: a = 0, b = 3, Δx = 0,5

n = \frac{b - a}{Δ x} = \frac{3 - 0}{0,5} = 6

I ≅ \frac{0,5}{2} [f (0) + f (3) + 2 \sum_{j = 1}^{6 - 1 = 5} f (0 + j \cdot 0,5)]

I ≅ 0,25 [f (0) + f (3) + 2 [f (0,5) + f (1) + f (1,5) + f (2) + f (2,5)]]

I ≅ 0,25 [5 + 104 + 2 [5,875 + 10 + 19,625 + 37 + 64,375]] = 95,6875

Hata = | 95,6875 - 93,75 | = 1,9375

Uç düzeltmeli yamuk yöntemi ile çözüm:

f (x) = 3 x^{3} + 2 x^{2} + 5

f^{'} (x) = 9 x^{2} + 4 x

I_{u c d} = I - \frac{(0,5)^{2}}{12} {[9 x^{2} + 4 x]}_{0}^{3} = 93,75

Hata = | 93,75 - 93,75 | = 0

3 Simpson Yöntemi

3.1 1/3 Simpson Yöntemi

Bu yöntemde çözüm aralığı çift sayıda n dilim sayısına bölündükten sonra herbir iki dilime ilişkin üç noktadan geçen eğrinin altındaki alan yani integral hesaplanır. Buna göre 1/3 Simpson kuralı veya iki dilim için Simpson kuralı

I_{j} = \int_{x_{j - 1}}^{x_{j + 1}} f (x) d x ≅ \frac{1}{3} Δ x (f_{j - 1} + 4 f_{j} + f_{j + 1})

(9)

yazılır. Genel olarak 1/3 Simpson integrasyon bağıntısı veya diğer bilinen adıyla ikişer dilimli integrasyon bağıntısı

I = \int_{a}^{b} f (x) d x ≅ \frac{Δ x}{3} [f (a) + f (b) + 4 \sum_{j = 1 (j tek)}^{n - 1} f (a + j Δ x) + 2 \sum_{j = 2 (j çift)}^{n - 2} f (a + j Δ x)]

(10)

olur. Burada da

Δ x = \frac{b - a}{n}

(11)

olup integral aralığı çift sayıda dilime bölünmüş olmalıdır, yani n dilim sayısı çift sayı olmalıdır.

3.2 3/8 Simpson Yöntemi

Bu yöntemde çözüm aralığı üç ve üçün katı sayıda n dilim sayısına bölündükten sonra herbir üç dilime ilişkin dört noktadan geçen eğrinin altındaki alan yani integral hesaplanır. Buna göre 3/8 Simpson kuralı veya üçer dilim için Simpson kuralı

I_{j} = \int_{x_{j - 1}}^{x_{j + 2}} f (x) d x ≅ \frac{3}{8} Δ x (f_{j - 1} + 3 f_{j} + 3 f_{j + 1} + f_{j + 2})

(12)

yazılır. Genel olarak 3/8 Simpson integrasyon bağıntısı veya diğer bilinen adıyla üçer dilimli integrasyon bağıntısı

I = \int_{a}^{b} f (x) d x ≅ \frac{3}{8} Δ x [f (a) + f (b) + 3 \sum_{j = 1,2, 4,5, 7,8, \dots}^{n - 1} f (a + j Δ x) + 2 \sum_{j = 3,6,9, \dots}^{n - 3} f (a + j Δ x)]

(13)

olur.