Hidrostatik Eğriler

Bir gemi, seferleri boyunca pek çok farklı yükleme durumuyla karşılaşır ve her durumda farklı draft ve trim değerleriyle yüzer. Geminin güvenli ve verimli işletilebilmesi için hem tasarımcının hem de işletmecinin, su altında kalan tekne formunun özelliklerini her yükleme durumu için bilmesi gerekir.

Bu özellikler, olası bütün yükleme durumlarını kapsayacak şekilde seçilen bir dizi su hattı için hesaplanır. Su hatları kaide hattına (omurgaya) paralel alınır; trimli durumlar için ise bu değerler bazı düzeltmelerle kullanılır. Hesaplarda geminin durgun suda hareketsiz yüzdüğü kabul edildiğinden bunlara hidrostatik hesaplar denir.

Hesap sonuçları uygun ölçeklerle çizilir ve noktalardan düzgün (fair) eğriler geçirilir. Bu eğrilere hidrostatik eğriler denir. Bir hidrostatik hesapta bulunması gereken başlıca eğriler şunlardır:

Kesit alan eğrileri (Bonjean kesit alan eğrileri)
Kesit moment eğrileri (Bonjean kesit moment eğrileri)
Deplasman hacmi ve deplasman ( $\nabla$ ve $Δ$ ) eğrileri
Blok katsayısı ( $C_{B}$ ) eğrisi
Orta kesit alan katsayısı ( $C_{M}$ ) eğrisi
Prizmatik katsayı ( $C_{P}$ ) eğrisi
Su hattı alan katsayısı ( $C_{WP}$ ) eğrisi
Su hattı alanı ( $A_{WP}$ ) eğrisi
Boyuna sephiye merkezi (LCB) eğrisi
Yüzme merkezi (LCF) eğrisi
Sephiye merkezinin yüksekliği (KB) eğrisi
Enine metasantr yarıçapı (BM) eğrisi
Boyuna metasantr yarıçapı ( ${BM}_{L}$ ) eğrisi
1 cm batma tonajı ( $T_{1}$ , TPC) eğrisi
1 cm trim momenti ( $M_{T 1}$ , MCT 1 cm) eğrisi
Islak yüzey alanı (S) eğrisi

Bunlara ek olarak 1 cm trim başına deplasman değişimi ile enine ve boyuna atalet momentleri de çizilebilir.

Hidrostatik büyüklükler, kaide hattından güverteye yakın en üst su hattına kadar bir dizi su hattı için hem tablo hem de grafik olarak verilir. Okunaklı olması için düşey (draft) ölçeği genellikle boy ölçeğinden büyük seçilir. Eğrilerde farklı birimler bulunduğundan — m (sephiye ve yüzme merkezi konumları, metasantr yarıçapı), m² (su hattı alanı, kesit alanı), m⁴ (atalet momentleri), t·m/cm (1 cm trim momenti) — her eğrinin ölçeği ya eğrinin yanında ya da grafiğin altında açıkça gösterilmelidir.

Hidrostatik eğriler, geminin yükleme durumları ve stabilitesiyle ilgili bütün hesaplarda kullanılan vazgeçilmez bir belgedir. Kapsanacak draft aralığı boş gemi (lightship) draftı ile en büyük yüklü draft arasındaki farka bağlıdır. Eğrilerin düzgün ve eksiksiz çıkması için hesap genellikle kaide hattından güverte seviyesine yakın en üst su hattına kadar yapılır. Boş ve yüklü draftı birbirine yakın olan savaş gemileri, balıkçı gemileri gibi tiplerde ise yalnızca işletmede karşılaşılan draft aralığı hesaplanır.

Hidrostatik eğriler yalnızca paralel batma ve çıkmalar (tasarım su hattına paralel su hatları) için geçerlidir. Küçük trim açılarında batan ve çıkan kamaların hacimleri eşit kabul edilir; trimli geminin deplasmanı da ortalama drafta karşılık gelen deplasmana eşit alınır. Büyük trimlerde bu yaklaşımın hatası büyür; o zaman aşağıda anlatılan Bonjean eğrileri kullanılır.

1 Bonjean Kesit Alan Eğrileri

Kesit alan eğrisi, bir posta kesitinin integral eğrisidir; yani Şekil 1'de görüldüğü gibi kesitin herhangi bir draft seviyesine kadar olan alanını verir. $y (z)$ yarı genişlikler olmak üzere kesit alanı:

A_{z} = 2 \int_{0}^{z} y d z

Şekil 1. Kesit alan eğrisinin elde edilişi

Kesit alan eğrilerinin başlıca kullanım alanı, herhangi bir düz ya da trimli su hattındaki deplasman hacmini bulmaktır. Trimli bir su hattı için trim hattı gemi profiline çizilir ve her postada Bonjean eğrisine girilecek draft okunur. Okunan kesit alanları boy boyunca integre edilerek trimli durumdaki deplasman hesaplanır.

Bonjean kesit alan eğrileri genellikle profil planındaki posta hatları üzerine, ortak bir draft ölçeğine göre çizilir (Şekil 2). Alanlar için okunaklı ortak bir yatay ölçek seçilir. Bu düzen, trim hatlarını profil üzerine yerleştirmek için çok kullanışlıdır.

Tasarımda çok yararlı bir eğri de kesit alanları eğrisidir (SAC). Her postanın ilgili su hattına kadar olan alanı boy boyunca çizilerek elde edilir (Şekil 2). Eğrinin biçimi sephiyenin (kaldırma kuvvetinin) boy boyunca dağılımını gösterir; eğrinin altındaki alan da o su hattına kadar olan deplasman hacmine eşittir.

Şekil 2. Bonjean kesit alanları (üstte) ve kesit alanları eğrisi (altta)

2 Deplasman Hacmi ve Deplasman Eğrileri

Her su hattına kadar batmış hacim, gemi o su hattında yüzerken yer değiştirdiği suyun hacmidir. Deplasman hacmi iki yoldan hesaplanabilir:

Kesit alanları gemi boyu boyunca integre edilerek:

\nabla = \int_{0}^{L} A d x = 2 \int_{0}^{L} \int_{0}^{T} y d z d x

Su hattı alanları derinlik boyunca integre edilerek:

\nabla = \int_{0}^{T} A_{WP} d z = 2 \int_{0}^{T} \int_{0}^{L} y d x d z

Deplasman, deplasman hacmi ile geminin yüzdüğü suyun yoğunluğunun çarpımıdır:

Δ = \nabla \times ρ

Ofsetlerden doğrudan hesaplanan hacme kalıp (moulded) deplasman hacmi denir. Toplam deplasmanı bulmak için buna dış kaplamanın ve yalpa omurgası, dümen, şaft gibi takıntıların hacmi eklenmelidir. Bu düzeltme gemi tipine bağlıdır; genellikle $0,006 \nabla$ ile $0,020 \nabla$ arasındadır.

Deplasman hacmi ve deplasman eğrileri grafiğin sol tarafında, kıç dikeyden (AP) itibaren çizilir.

3 Form Katsayısı Eğrileri

Hidrostatik eğriler arasında dört form katsayısı eğrisi bulunur:

Blok katsayısı ( $C_{B}$ ) eğrisi
Orta kesit alan katsayısı ( $C_{M}$ ) eğrisi
Prizmatik katsayı ( $C_{P}$ ) eğrisi
Su hattı alan katsayısı ( $C_{WP}$ ) eğrisi

Bu katsayılar her su hattı için hesaplanır ve kıç dikeyden itibaren, genellikle hepsi için aynı ölçekle çizilir; eğriler geminin farklı draftlardaki dolgunluk değişimini gösterir. Katsayıların tanımları ve formülleri için Gemi Geometrisi → Tekne formu ve form katsayıları bölümüne bakınız.

4 Su Hattı Alanı ( $A_{WP}$ ) Eğrisi

Su hattı alanı, küçük ağırlıklar yüklenip boşaltıldığında draftın ne kadar değişeceğini bulmak için gereklidir. $y$ posta ofsetleri olmak üzere, $z$ yüksekliğindeki su hattı alanı:

A_{WP} (z) = 2 \int_{0}^{L} y d x

Geminin işletme draftlarını kapsayan düzgün bir eğri çizilebilmesi için su hattı alanları yeterince çok sayıda su hattında hesaplanmalıdır.

5 LCB ve LCF Eğrileri

5.1 Boyuna sephiye merkezi (LCB)

Sephiye merkezinin boyuna konumu geminin stabilitesini ve trimini etkiler. LCB, sephiye merkezinin belirli bir enine referans düzleminden — genellikle orta kesitten — uzaklığıdır (Şekil 3). Bazen baş dikeyden (FP) ya da kıç dikeyden (AP) ölçülür; bu yüzden çizimde referans ekseni belirtilmelidir.

5.2 Yüzme merkezi (LCF)

Her su hattı alanının ağırlık merkezi, o su hattının yüzme merkezidir. Yüzme merkezine eklenen bir ağırlık, trim ya da meyil oluşturmadan yalnızca paralel batma yaptırır. LCF; yükleme, boşaltma ya da gemi üzerinde ağırlık kaydırma sonucu trim değiştiğinde baş ve kıç draftlarındaki değişimi hesaplamak için gereklidir. Genellikle LCB ile birlikte, gemi ortasına göre çizilir (Şekil 3).

Şekil 3. LCB ve LCF eğrileri

6 KB ve BM Eğrileri

6.1 Sephiye merkezinin yüksekliği (KB)

KB, sephiye merkezinin (B) kaide hattından ya da omurgadan (K) yüksekliğidir. Geminin başlangıç stabilitesini etkilediği için en önemli hidrostatik özelliklerden biridir. İki yoldan hesaplanabilir:

Her su hattı için kesitlerin kaide hattına göre toplam momenti deplasman hacmine bölünür, ya da
İlgili su hattına kadar su hattı alanlarının toplam momenti deplasman hacmine bölünür.

6.2 Enine metasantr yarıçapı (BM)

Enine metasantr yarıçapı, sephiye merkezi (B) ile enine metasantr (M) arasındaki düşey uzaklıktır:

BM = \frac{I}{\nabla}

Burada $I$ su hattı alanının boyuna simetri eksenine göre enine atalet momenti, $\nabla$ deplasman hacmidir. Enine metasantrın kaide hattından yüksekliği KM, KB ile BM toplanarak bulunur:

KM = KB + BM

KB ve BM eğrileri aynı ölçekle çizilir; böylece KM değeri grafikten doğrudan okunabilir (Şekil 4).

Şekil 4. KB ve BM eğrileri (AP: kıç dikey, FP: baş dikey)

7 Boyuna Metasantr Yarıçapı ( ${BM}_{L}$ ) Eğrisi

Boyuna metasantr yarıçapı, sephiye merkezi (B) ile boyuna metasantr ( $M_{L}$ ) arasındaki düşey uzaklıktır:

{BM}_{L} = \frac{I_{L}}{\nabla}

Burada $I_{L}$ , su hattı alanının yüzme merkezinden (LCF) geçen enine eksene göre boyuna atalet momentidir.

8 1 cm Batma Tonajı ( $T_{1}$ ) Eğrisi

Bir gemiye ağırlık yüklendiğinde yüzme kanunu gereği deplasman da tam o kadar artmalıdır. Bu gerçekten yararlı bir hidrostatik büyüklük tanımlanır: görece küçük ağırlıklar yüklendiğinde ya da boşaltıldığında draftın ne kadar değişeceğini bulmaya yarayan 1 cm batma tonajı (TPC).

Küçük bir ağırlığın yüzme merkezine yüklendiğini, böylece geminin paralel battığını (draft artışının boy boyunca aynı olduğunu) varsayalım. $A_{WP}$ su hattı alanı, $t$ paralel batma miktarı olmak üzere batan tabakanın hacmi:

v = A_{WP} t

Paralel batmanın oluşturduğu kaldırma kuvveti eklenen ağırlığa eşit olmalıdır:

w = ρ v = ρ A_{WP} t

Bu bağıntı tam olarak yalnızca duvar bordalı gemiler için geçerlidir; paralel batma küçükse yaklaşım kabul edilebilir. Eklenen ağırlığı 1 cm kalınlığındaki tabakanın kaldırma kuvvetine eşitlersek:

T_{1} = \frac{ρ A_{WP}}{100} (t/cm)

Şekil 5. Su hattı alanı ve 1 cm batma tonajı eğrileri

9 1 cm Trim Momenti ( $M_{T 1}$ ) Eğrisi

Trimi belirli bir miktar değiştirmek için gereken moment, geminin önemli bir özelliğidir ve yükleme hesaplarında sık kullanılır:

M_{T 1} = \frac{Δ {GM}_{L}}{100 L_{WL}} (t·m/cm)

Burada $Δ$ ton cinsinden deplasman, ${GM}_{L}$ metre cinsinden boyuna metasantr yüksekliği, $L_{WL}$ metre cinsinden su hattı boyudur. ${GM}_{L}$ ile ${BM}_{L}$ birbirine çok yakın olduğundan hidrostatik hesaplarda genellikle ${GM}_{L} \approx {BM}_{L}$ alınır.

10 Islak Yüzey Alanı (S) Eğrisi

Belirli bir su hattında yüzen geminin, suyla temas eden dış yüzeyinin toplam alanına ıslak yüzey alanı denir. Geminin sürtünme direnci ıslak yüzey alanıyla doğru orantılı olduğundan direnç hesaplarında gereklidir. Ayrıca belirli bir su hattına kadar karina boyası miktarını ve dış kaplama ağırlığını tahmin etmekte de kullanılır.

Tasarım su hattına kadar ıslak yüzey alanı için çeşitli ampirik formüller önerilmiştir (metrik birimlerle):

Kaynak	Formül
Froude	$S = \nabla^{2 / 3} (3,4 + \frac{1}{2} \frac{L}{\nabla^{1 / 3}})$
Mumford	$S = 1,7 (L T + C_{B} L B)$
Denny	$S = 1,7 L T + \frac{\nabla}{T}$
Admiralty	$S = \nabla^{2 / 3} (3,3 + \frac{L}{2,08 \nabla^{1 / 3}})$
Wageningen	$S = \nabla^{1 / 3} (3,4 \nabla^{1 / 3} + 0,5 L)$

11 Draft Markaları ve Draft Diyagramı

11.1 Draft markaları

Draft markaları; hidrostatik, stabilite ve yaralı stabilite hesaplarında geminin deplasmanını ve diğer özelliklerini belirlemek için kullanılır. Markalar, kaide hattının su hattından ne kadar aşağıda olduğunu gösterir. Gösterimde genellikle 3 inç (≈ 7,5 cm) yüksekliğinde Roma rakamları ya da 6 inç (≈ 15 cm) yüksekliğinde Arap rakamları kullanılır.

11.2 Draft diyagramı

Draft diyagramı, aşağıdaki hidrostatik büyüklükleri bulmak için kullanılan bir nomogramdır:

geminin deplasmanı
1 cm trim momenti ( $M_{T 1}$ )
1 cm batma tonajı ( $T_{1}$ )
metasantr yüksekliği (KM)
yüzme merkezi (LCF)
boyuna sephiye merkezi (LCB)

Tipik bir draft diyagramı Şekil 6'da görülmektedir. Kullanmak için kıç ve baş draft markaları okunur ve diyagramda bu iki değer bir doğruyla birleştirilir. Deplasman, KM, $T_{1}$ , $M_{T 1}$ , LCB ve LCF değerleri, bu doğrunun ilgili ölçekleri kestiği noktalardan okunur.

Şekil 6. Tipik bir draft diyagramı

Okuma örneği: Şekilde kıç draft 7 m ile baş draft 6 m arasına kırmızı kesikli doğru çizilmiştir (ortalama draft 6,5 m, kıça 1 m trim). Doğrunun ölçekleri kestiği noktalardan yaklaşık olarak okunan değerler: 1 cm trim momenti $M_{T 1} \approx 165$ t·m/cm, deplasman $Δ \approx 3625$ t, KM ≈ 7,8 m, 1 cm batma tonajı $T_{1} \approx 9,4$ t/cm, LCB ≈ 0,1 m (gemi ortasına çok yakın).

12 Hidrostatik Hesap Tabloları

Hidrostatik eğriler, el hesabında aşağıdaki tablolarla adım adım hesaplanır. Simpson çarpanları, postaların ve su hatlarının yarım aralıklarla (½) sıklaştırıldığı uç bölgeler için düzenlenmiştir. $h$ su hatları arası, $s$ postalar arası uzaklıktır.

12.1 Kesit alanları ve kesit momentleri

Aşağıdaki tablo her posta için ayrı ayrı doldurulur (Posta 1, Posta 2, Posta 3, …).

Su hattı	Simpson (SM)	Çarpım 1	Moment kolu (MK)	Çarpım 2
		$y_{i} \cdot SM$		$Ç_{1} \cdot MK$
0	½		0
½	2		½
1	3/2		1
2	4		2
3	2		3
4	4		4
5	1		5
		$Σ_{i 1} =$		$Σ_{i 2} =$

Kesit alanı: A_{i} = 2 \cdot \frac{h}{3} \cdot Σ_{i 1} m^{2} Kesit momenti: M_{i} = 2 \cdot \frac{h^{2}}{3} \cdot Σ_{i 2} m^{3}

Burada $i$ posta numarasıdır.

12.2 Deplasman, LCB ve KB

Posta	Simpson (SM)	Çarpım 1	Moment kolu (MK)	Çarpım 2	Çarpım 3
		$A \cdot SM$		$Ç_{1} \cdot MK$	$M \cdot SM$
0	½		−5
½	2		−4,5
1	3/2		−4
2	4		−3
3	2		−2
4	4		−1
5	2		0
6	4		1
7	2		2
8	4		3
9	3/2		4
9½	2		4,5
10	½		5
		$Σ_{3} =$		$Σ_{4} =$	$Σ_{5} =$

\nabla = \frac{s}{3} Σ_{3} m^{3} Δ = ρ \nabla t

LCB = s \frac{Σ_{4}}{Σ_{3}} m (- kıç, + baş) KB = \frac{Σ_{5}}{Σ_{3}} m

Yukarıdaki bağıntılarla bulunan değerler kullanılarak blok katsayısı, orta kesit alan katsayısı ve prizmatik katsayı şöyle hesaplanır:

C_{B} = \frac{\nabla}{L_{WL} B_{WL} T} C_{M} = \frac{A_{M}}{B_{WL} T} C_{P} = \frac{C_{B}}{C_{M}}

12.3 Su hattı alanı, T₁, BM, LCF, BM_L ve M_T1

Aşağıdaki tablo her su hattı için ayrı ayrı doldurulur:

Posta	Simpson (SM)	Çarpım 1	Moment kolu (MK)	Çarpım 2	Çarpım 3	Çarpım 4
		$y_{i} \cdot SM$		$Ç_{1} \cdot MK$	$Ç_{1} \cdot {MK}^{2}$	$y_{i}^{3} \cdot SM$
0	½		−5
½	2		−4,5
1	3/2		−4
2	4		−3
3	2		−2
4	4		−1
5	2		0
6	4		1
7	2		2
8	4		3
9	3/2		4
9½	2		4,5
10	½		5
		$Σ_{6} =$		$Σ_{7} =$	$Σ_{8} =$	$Σ_{9} =$

A_{WP} = 2 \cdot \frac{s}{3} \cdot Σ_{6} m^{2} T_{1} = \frac{ρ A_{WP}}{100} t/cm C_{WP} = \frac{A_{WP}}{L_{WL} B_{WL}}

I = 2 \cdot \frac{s}{9} \cdot Σ_{9} m^{4} BM = \frac{I}{\nabla} m LCF = s \frac{Σ_{7}}{Σ_{6}} m (- kıç, + baş)

I_{\otimes} = 2 \cdot \frac{s^{3}}{3} \cdot Σ_{8} m^{4} I_{F} = I_{\otimes} - A_{WP} \cdot {LCF}^{2} m^{4}

{BM}_{L} = \frac{I_{F}}{\nabla} m M_{T 1} ≅ \frac{Δ \cdot {BM}_{L}}{100 L_{WL}} t·m/cm

$I_{\otimes}$ gemi ortasına, $I_{F}$ ise yüzme merkezine göre boyuna atalet momentidir (paralel eksen teoremi).

12.4 Islak yüzey alanı

Islak yüzey alanı için her postanın, ilgili su hattına kadar olan yarı çevresi (half girth) — kesit eğrisinin simetri ekseninden su hattına kadar olan uzunluğu — ölçülür ya da sayısal olarak hesaplanır. Yarı çevreler postalar boyunca Simpson kuralıyla integre edilip iki bordayı kapsayacak şekilde ikiyle çarpılınca o su hattına kadar ıslak yüzey alanı bulunur. Hesap her su hattı için tekrarlanır ve sonuçlar sonuç tablosuna yazılır.

12.5 Sonuç tablosu

Bütün su hatları için bulunan değerler tek bir sonuç tablosunda toplanır ve hidrostatik eğriler bu tablodan çizilir:

Büyüklük	WL1	WL2	WL3	WL4	WL5	WL6
$\nabla$ (m³)
$Δ$ (t)
LCB (m)
KB (m)
$C_{B}$ , $C_{M}$ , $C_{P}$
$A_{WP}$ (m²)
$T_{1}$ (t/cm)
$C_{WP}$
I (m⁴), BM (m)
LCF (m)
$I_{F}$ (m⁴), ${BM}_{L}$ (m)
$M_{T 1}$ (t·m/cm)
WS (m²)

13 Çözümlü Örnekler

Örnek 1

Boyu L = 30 m, genişliği B = 4,8 m ve draftı T = 1,80 m olan bir geminin eşit aralıklı posta ve su hatlarındaki yarı genişlikleri (m) aşağıda verilmiştir. Yüklü su hattı WL3'tür.

	P1	P2	P3	P4
WL1	0,0	0,3	0,9	0,4
WL2	0,2	1,1	2,1	0,9
WL3	0,8	2,2	2,4	1,3

Yüklü durum için hesaplayınız:

deplasmanı,
sephiye merkezinin boyuna ve düşey konumunu,
1 cm batma tonajını ve 1 cm trim momentini,
enine ve boyuna metasantr yarıçaplarını,
su hattı alan, orta kesit alan ve blok katsayılarını.

Çözümü gösterÇözümü gizle

a) Deplasman için önce her postanın yüklü su hattına kadar alanı bulunur. Sephiye merkezinin yüksekliği için su hatlarının kaide hattına göre momentleri de hesaplanır. Su hatları arası:

h = \frac{1,8}{3} = 0,9 m

Posta 1 için tablo (MK: moment kolu, su hattı aralığı cinsinden):

Su hattı	$y_{i}$	Simpson	Çarpım 1	MK	Çarpım 2
WL1	0,0	1	0,0	0	0,0
WL2	0,2	4	0,8	1	0,8
WL3	0,8	1	0,8	2	1,6
			$Σ_{1} = 1,6$		$Σ_{2} = 2,4$

A_{1} = 2 \times \frac{h}{3} \times Σ_{1} = 2 \times \frac{0,9}{3} \times 1,6 = 0,96 m^{2}

M_{1} = 2 \times \frac{h^{2}}{3} \times Σ_{2} = 2 \times \frac{{0,9}^{2}}{3} \times 2,4 = 1,296 m^{3}

Aynı hesap diğer postalar için yapılır:

Posta	$Σ_{1}$	$Σ_{2}$	Alan A (m²)	Moment M (m³)
P1	1,6	2,4	0,96	1,296
P2	6,9	8,8	4,14	4,752
P3	11,7	13,2	7,02	7,128
P4	5,3	6,2	3,18	3,348
P5	0,0	0,0	0,00	0,000

Kesit alanları ve momentleri postalar boyunca integre edilir (MK: gemi ortasından posta aralığı cinsinden):

Posta	Alan	Simpson	Çarpım 1	MK	Çarpım 2	Moment	Çarpım 3
P1	0,96	1	0,96	−2	−1,92	1,296	1,296
P2	4,14	4	16,56	−1	−16,56	4,752	19,008
P3	7,02	2	14,04	0	0,00	7,128	14,256
P4	3,18	4	12,72	1	12,72	3,348	13,392
P5	0,00	1	0,00	2	0,00	0,000	0,000
			$Σ_{1} = 44,28$		$Σ_{2} = - 5,76$		$Σ_{3} = 47,952$

s = \frac{30}{4} = 7,5 m

\nabla = \frac{s}{3} \times Σ_{1} = \frac{7,5}{3} \times 44,28 = 110,7 m^{3}

Δ = \nabla \times ρ = 110,7 \times 1,025 = 113,47 t

b) Sephiye merkezinin boyuna ve düşey konumu:

LCB = s \frac{Σ_{2}}{Σ_{1}} = 7,5 \times \frac{- 5,76}{44,28} = - 0,976 m (kıçta)

KB = \frac{Σ_{3}}{Σ_{1}} = \frac{47,952}{44,28} = 1,083 m

c) 1 cm batma tonajı ( $T_{1}$ )

Posta	$y_{i}$	Simpson	Çarpım 1	MK	Çarpım 2	Çarpım 3	$y_{i}^{3}$	Çarpım 4
P1	0,8	1	0,8	−2	−1,6	3,2	0,512	0,512
P2	2,2	4	8,8	−1	−8,8	8,8	10,648	42,592
P3	2,4	2	4,8	0	0,0	0,0	13,824	27,648
P4	1,3	4	5,2	1	5,2	5,2	2,197	8,788
P5	0,0	1	0,0	2	0,0	0,0	0,000	0,000
			$Σ_{1} = 19,6$		$Σ_{2} = - 5,2$	$Σ_{3} = 17,2$		$Σ_{4} = 79,54$

A_{WP} = 2 \times \frac{s}{3} \times Σ_{1} = 2 \times \frac{7,5}{3} \times 19,6 = 98 m^{2}

T_{1} = \frac{ρ A_{WP}}{100} = \frac{1,025 \times 98}{100} = 1,005 t/cm

d) Enine ve boyuna metasantr yarıçapları:

I = 2 \times \frac{s}{9} \times Σ_{4} = 2 \times \frac{7,5}{9} \times 79,54 = 132,57 m^{4}

BM = \frac{I}{\nabla} = \frac{132,57}{110,7} = 1,198 m

I_{\otimes} = \frac{2}{3} \times s^{3} \times Σ_{3} = \frac{2}{3} \times {7,5}^{3} \times 17,2 = 4837,5 m^{4}

LCF = s \times \frac{Σ_{2}}{Σ_{1}} = 7,5 \times \frac{- 5,2}{19,6} = - 1,99 m (kıçta)

I_{F} = I_{\otimes} - A_{WP} \times {LCF}^{2} = 4837,5 - 98 \times {1,99}^{2} = 4449,4 m^{4}

{BM}_{L} = \frac{I_{F}}{\nabla} = \frac{4449,4}{110,7} = 40,19 m

1 cm trim momenti ( ${GM}_{L} \approx {BM}_{L}$ alınarak):

M_{T 1} ≅ \frac{Δ {BM}_{L}}{100 L} = \frac{113,47 \times 40,19}{100 \times 30} = 1,52 t·m/cm

e) Form katsayıları (orta kesit P3'tür):

C_{B} = \frac{\nabla}{L B T} = \frac{110,7}{30 \times 4,8 \times 1,8} = 0,427

C_{M} = \frac{A_{\otimes}}{B T} = \frac{7,02}{4,8 \times 1,8} = 0,81

C_{WP} = \frac{A_{WP}}{L B} = \frac{98}{30 \times 4,8} = 0,68

Örnek 2

Bir geminin yüklü su hattının eşit aralıklı yarı ordinatları (m) aşağıda verilmiştir. Dikeyler arası boy 120,4 m'dir. Kıç dikeyin (AP) kıç tarafında, alanı 14,2 m² olan bir ek parça bulunmaktadır; bu parçanın alan merkezi AP'nin 1,7 m kıçındadır. Su hattının toplam alanını ve alan merkezini hesaplayınız.

Posta	0 (AP)	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10 (FP)
y (m)	0,0	3,11	6,10	8,35	9,80	10,36	10,30	9,66	8,41	6,28	2,84

Çözümü gösterÇözümü gizle

Postalar arası $s = 120,4 / 10 = 12,04$ m. Moment kolları (MK) gemi ortasından (5. posta) posta aralığı cinsinden, kıça doğru pozitif alınmıştır.

Posta	$y_{i}$	Simpson	Çarpım 1	MK	Çarpım 2
0	0,00	1	0,00	5	0,00
1	3,11	4	12,44	4	49,76
2	6,10	2	12,20	3	36,60
3	8,35	4	33,40	2	66,80
4	9,80	2	19,60	1	19,60
5	10,36	4	41,44	0	0,00
6	10,30	2	20,60	−1	−20,60
7	9,66	4	38,64	−2	−77,28
8	8,41	2	16,82	−3	−50,46
9	6,28	4	25,12	−4	−100,48
10	2,84	1	2,84	−5	−14,20
			$Σ_{1} = 223,1$		$Σ_{2} = - 90,26$

A = 2 \frac{s}{3} Σ_{1} = 2 \times \frac{12,04}{3} \times 223,1 = 1790,8 m^{2} A_{toplam} = 1790,8 + 14,2 = 1805 m^{2}

Ek parça olmadan alan merkezinin gemi ortasından uzaklığı:

\bar{x} = s \frac{Σ_{2}}{Σ_{1}} = 12,04 \times \frac{- 90,26}{223,1} = - 4,87 m (başta)

Ek parçanın alan merkezi gemi ortasından $L / 2 + 1,7 = 61,9$ m kıçtadır. Gemi ortasına göre momentler alınırsa (başa doğru pozitif):

{\bar{x}}_{toplam} = \frac{1790,8 \times 4,87 - 14,2 \times 61,9}{1805} = 4,34 m (gemi ortasının başında)

Örnek 3

Bir geminin 38 ve 46 numaralı postaları arasında bir tank bölmesi vardır. Posta aralığı 1,2 m'dir. 38, 42 ve 46 numaralı postalarda tankın yüksekliği ve genişlikleri aşağıda verilmiştir.

Posta	Yükseklik (m)	Genişlik (m)
Posta	Yükseklik (m)	Üst	Orta	Alt
38	4,8	1,8	1,6	0,0
42	5,0	2,0	1,75	0,0
46	5,2	2,6	1,9	0,0

Şekil 7. 38, 42 ve 46 numaralı postalar arasındaki tank (genişlikler m)

Tankın hacmini hesaplayınız.
Tankın geçirgenliği $μ = 0,95$ ise tankı doldurmak için gereken yakıtın ağırlığını bulunuz (yakıt yoğunluğu 0,85 t/m³).
Hacim merkezinin 38 numaralı postadan uzaklığını bulunuz.

Çözümü gösterÇözümü gizle

Önce her postadaki kesit alanı bulunur. Her kesitte üst, orta ve alt olmak üzere üç ordinat vardır; düşey aralık yüksekliğin yarısıdır.

	Simpson	Posta 38	Çarpım	Posta 42	Çarpım	Posta 46	Çarpım
Üst	1	1,8	1,8	2,0	2,0	2,6	2,6
Orta	4	1,6	6,4	1,75	7,0	1,9	7,6
Alt	1	0,0	0,0	0,0	0,0	0,0	0,0
			$Σ_{38} = 8,2$		$Σ_{42} = 9,0$		$Σ_{46} = 10,2$

A_{38} = \frac{2,4}{3} \times 8,2 = 6,56 m^{2} A_{42} = \frac{2,5}{3} \times 9,0 = 7,50 m^{2} A_{46} = \frac{2,6}{3} \times 10,2 = 8,84 m^{2}

Hacim ve hacim merkezi tabloyla hesaplanır. Kesitler arası uzaklık $s = 4 \times 1,2 = 4,8$ m'dir:

Posta	Alan (m²)	Simpson	Çarpım 1	MK	Çarpım 2
38	6,56	1	6,56	0	0,00
42	7,50	4	30,00	1	30,00
46	8,84	1	8,84	2	17,68
			$Σ_{1} = 45,4$		$Σ_{2} = 47,68$

a) Tankın hacmi:

V = \frac{s}{3} Σ_{1} = \frac{4,8}{3} \times 45,4 = 72,64 m^{3}

b) Tankı dolduracak yakıtın ağırlığı:

W = V \times μ \times ρ = 72,64 \times 0,95 \times 0,85 = 58,65 t

c) Hacim merkezinin 38 numaralı postadan uzaklığı:

\bar{x} = s \frac{Σ_{2}}{Σ_{1}} = 4,8 \times \frac{47,68}{45,4} = 5,04 m

Örnek 4

Bir geminin 13 ve 25 numaralı postaları arasında 1 m derinliğinde bir dip tankı (çift dip tankı) vardır. Tankın geçirgenliği 0,92, posta aralığı 630 mm'dir. Postalardaki tank genişlikleri aşağıda verilmiştir.

	Posta 13	Posta 19	Posta 25
Alt	0,50	1,30	2,50
Orta	1,33	2,51	3,71
Üst	1,58	2,92	4,22

Tankı doldurmak için gereken yakıtın ağırlığını bulunuz (yakıt yoğunluğu 0,83 t/m³).
Tankın hacim merkezinin boyuna ve düşey konumunu bulunuz.

Çözümü gösterÇözümü gizle

Her postada düşey aralık $h = 1 / 2 = 0,5$ m'dir. Kesit alanları ve kesitlerin tank tabanına göre momentleri (MK: alttan itibaren aralık cinsinden):

	Simpson	MK	Posta 13	Posta 19	Posta 25
Alt	1	0	0,50	1,30	2,50
Orta	4	1	1,33	2,51	3,71
Üst	1	2	1,58	2,92	4,22
$Σ_{1}$ (y·Simpson)			7,40	14,26	21,56
$Σ_{2}$ (y·Simpson·MK)			8,48	15,88	23,28
$A = \frac{h}{3} Σ_{1}$ (m²)			1,23	2,38	3,59
$M = \frac{h^{2}}{3} Σ_{2}$ (m³)			0,71	1,32	1,94

Kesitler arası uzaklık $s = 6 \times 0,63 = 3,78$ m'dir:

Posta	Alan (m²)	Simpson	Çarpım 1	MK	Çarpım 2	Moment (m³)	Çarpım 3
13	1,23	1	1,23	0	0,00	0,71	0,71
19	2,38	4	9,52	1	9,52	1,32	5,28
25	3,59	1	3,59	2	7,18	1,94	1,94
			$Σ_{1} = 14,34$		$Σ_{2} = 16,70$		$Σ_{3} = 7,93$

a) Tankın hacmi ve yakıtın ağırlığı:

V = \frac{s}{3} Σ_{1} = \frac{3,78}{3} \times 14,34 = 18,07 m^{3}

W = V \times μ \times ρ = 18,07 \times 0,92 \times 0,83 = 13,80 t

b) Hacim merkezinin 13 numaralı postadan uzaklığı ve tank tabanından yüksekliği:

\bar{x} = s \frac{Σ_{2}}{Σ_{1}} = 3,78 \times \frac{16,70}{14,34} = 4,40 m \bar{z} = \frac{Σ_{3}}{Σ_{1}} = \frac{7,93}{14,34} = 0,55 m

Örnek 5

Dikeyler arası boyu 200 m olan bir geminin su hattı yarı ordinatları aşağıda verilmiştir.

Posta	0 (AP)	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10 (FP)
y (m)	0,0	10,0	13,0	14,0	14,2	14,2	14,1	14,0	11,5	6,2	0,2

Su hattı alanını,
yüzme merkezinin kıç dikeyden (AP) uzaklığını,
yüzme merkezinden geçen enine eksene göre boyuna atalet momentini,
x eksenine (simetri eksenine) göre enine atalet momentini hesaplayınız.

Çözümü gösterÇözümü gizle

Postalar arası $s = 200 / 10 = 20$ m. Moment kolları (MK) kıç dikeyden posta aralığı cinsinden alınmıştır.

Posta	$y_{i}$	Simpson	Çarpım 1	MK	Çarpım 2	Çarpım 3	$y_{i}^{3}$	Çarpım 4
			$y_{i} \cdot SM$		$Ç_{1} \cdot MK$	$Ç_{1} \cdot {MK}^{2}$		$y_{i}^{3} \cdot SM$
0	0,0	1	0,0	0	0,0	0,0	0,0	0,0
1	10,0	4	40,0	1	40,0	40,0	1000,0	4000,0
2	13,0	2	26,0	2	52,0	104,0	2197,0	4394,0
3	14,0	4	56,0	3	168,0	504,0	2744,0	10976,0
4	14,2	2	28,4	4	113,6	454,4	2863,3	5726,6
5	14,2	4	56,8	5	284,0	1420,0	2863,3	11453,2
6	14,1	2	28,2	6	169,2	1015,2	2803,2	5606,4
7	14,0	4	56,0	7	392,0	2744,0	2744,0	10976,0
8	11,5	2	23,0	8	184,0	1472,0	1520,9	3041,8
9	6,2	4	24,8	9	223,2	2008,8	238,3	953,3
10	0,2	1	0,2	10	2,0	20,0	0,0	0,0
			$Σ_{1} = 339,4$		$Σ_{2} = 1628,0$	$Σ_{3} = 9782,4$		$Σ_{4} = 57127,3$

a) Su hattı alanı:

A_{WP} = 2 \times \frac{s}{3} \times Σ_{1} = 2 \times \frac{20}{3} \times 339,4 = 4525,3 m^{2}

b) Yüzme merkezinin kıç dikeyden uzaklığı:

LCF = s \frac{Σ_{2}}{Σ_{1}} = 20 \times \frac{1628,0}{339,4} = 95,93 m

c) Önce kıç dikeye göre boyuna atalet momenti bulunur, sonra paralel eksen teoremiyle yüzme merkezine taşınır:

I_{AP} = 2 \times \frac{s^{3}}{3} \times Σ_{3} = 2 \times \frac{20^{3}}{3} \times 9782,4 = 52 172 800 m^{4}

I_{F} = I_{AP} - A_{WP} {LCF}^{2} = 52 172 800 - 4525,3 \times {95,93}^{2} = 10 528 400 m^{4}

d) Simetri eksenine göre enine atalet momenti:

I_{x} = 2 \times \frac{s}{9} \times Σ_{4} = 2 \times \frac{20}{9} \times 57127,3 = 253 900 m^{4}

Örnek 6

Boyu 90 m olan bir geminin deplasman hacmi 5000 m³'tür. Yüklü su hattının yarı ordinatları aşağıda verilmiştir. Enine ve boyuna atalet momentlerini ve metasantr yarıçaplarını hesaplayınız.

Posta	0 (AP)	0,5	1	2	3	4	5	5,5	6 (FP)
y (m)	0,0	2,0	4,88	6,71	7,31	7,01	6,40	2,0	0,9

Çözümü gösterÇözümü gizle

Postalar arası $s = 90 / 6 = 15$ m. Moment kolları (MK) gemi ortasından (3. posta) posta aralığı cinsinden, kıça doğru pozitif alınmıştır.

Posta	$y_{i}$	Simpson	Çarpım 1	MK	Çarpım 2	Çarpım 3	$y_{i}^{3}$	Çarpım 4
			$y_{i} \cdot SM$		$Ç_{1} \cdot MK$	$Ç_{1} \cdot {MK}^{2}$		$y_{i}^{3} \cdot SM$
AP	0,00	½	0,00	3	0,00	0,00	0,00	0,00
0,5	2,00	2	4,00	2,5	10,00	25,00	8,00	16,00
1	4,88	3/2	7,32	2	14,64	29,28	116,21	174,32
2	6,71	4	26,84	1	26,84	26,84	302,11	1208,45
3	7,31	2	14,62	0	0,00	0,00	390,62	781,24
4	7,01	4	28,04	−1	−28,04	28,04	344,47	1377,89
5	6,40	3/2	9,60	−2	−19,20	38,40	262,14	393,22
5,5	2,00	2	4,00	−2,5	−10,00	25,00	8,00	16,00
FP	0,90	½	0,45	−3	−1,35	4,05	0,73	0,36
			$Σ_{1} = 94,87$		$Σ_{2} = - 7,11$	$Σ_{3} = 176,61$		$Σ_{4} = 3967,47$

A_{WP} = 2 \times \frac{s}{3} \times Σ_{1} = 2 \times \frac{15}{3} \times 94,87 = 948,7 m^{2}

LCF = s \frac{Σ_{2}}{Σ_{1}} = 15 \times \frac{- 7,11}{94,87} = - 1,124 m (başta)

I_{\otimes} = 2 \times \frac{s^{3}}{3} \times Σ_{3} = 2 \times \frac{15^{3}}{3} \times 176,61 = 397 372,5 m^{4}

I_{F} = I_{\otimes} - A_{WP} {LCF}^{2} = 397 372,5 - 948,7 \times {1,124}^{2} = 396 173,9 m^{4}

I_{x} = 2 \times \frac{s}{9} \times Σ_{4} = 2 \times \frac{15}{9} \times 3967,47 = 13 224,9 m^{4}

BM = \frac{I_{x}}{\nabla} = \frac{13 224,9}{5000} = 2,645 m {BM}_{L} = \frac{I_{F}}{\nabla} = \frac{396 173,9}{5000} = 79,23 m

Örnek 7

Bir geminin boyu L = 150 m, genişliği B = 22,5 m, draftı T = 7,35 m ve blok katsayısı $C_{B} = 0,75$ 'tir. Yüklü su hattının yarı ordinatları aşağıda verilmiştir. Baş dikeyin (FP) önünde 2 m boyunda ve 1 m genişliğinde üçgen biçimli bir ek parça vardır. Enine ve boyuna metasantr yarıçaplarını hesaplayınız.

Posta	0 (AP)	1	2	4	6	8	10 (FP)
y (m)	1,003	6,923	10,114	11,250	11,250	9,324	0,500

Çözümü gösterÇözümü gizle

Ana posta aralığı $s = 150 / 5 = 30$ m'dir; kıç uçta (0–2 arası) aralık yarıya inmiştir. Moment kolları (MK) kıç dikeyden $s$ cinsinden alınmıştır.

Posta	$y_{i}$	Simpson	Çarpım 1	MK	Çarpım 2	Çarpım 3	$y_{i}^{3}$	Çarpım 4
			$y_{i} \cdot SM$		$Ç_{1} \cdot MK$	$Ç_{1} \cdot {MK}^{2}$		$y_{i}^{3} \cdot SM$
AP	1,003	½	0,5	0	0,0	0,0	1,0	0,5
1	6,923	2	13,8	0,5	6,9	3,5	331,8	663,6
2	10,114	3/2	15,2	1	15,2	15,2	1034,6	1551,9
4	11,250	4	45,0	2	90,0	180,0	1423,8	5695,2
6	11,250	2	22,5	3	67,5	202,5	1423,8	2847,6
8	9,324	4	37,3	4	149,2	596,7	810,6	3242,4
FP	0,500	1	0,5	5	2,5	12,5	0,1	0,1
			$Σ_{1} = 134,8$		$Σ_{2} = 331,3$	$Σ_{3} = 1010,4$		$Σ_{4} = 14001,3$

A_{WP} = 2 \times \frac{s}{3} \times Σ_{1} = 2 \times \frac{30}{3} \times 134,8 = 2696 m^{2} LCF = s \frac{Σ_{2}}{Σ_{1}} = 30 \times \frac{331,3}{134,8} = 73,73 m

I_{AP} = 2 \times \frac{s^{3}}{3} \times Σ_{3} = 2 \times \frac{30^{3}}{3} \times 1010,4 = 18 187 200 m^{4}

I_{F} = I_{AP} - A_{WP} {LCF}^{2} = 18 187 200 - 2696 \times {73,73}^{2} = 3 531 440 m^{4}

I_{x} = 2 \times \frac{s}{9} \times Σ_{4} = 2 \times \frac{30}{9} \times 14001,3 = 93 342 m^{4}

\nabla = L B T C_{B} = 150 \times 22,5 \times 7,35 \times 0,75 = 18 604,7 m^{3} BM = \frac{I_{x}}{\nabla} = \frac{93 342}{18 604,7} = 5,02 m

Ek parça (üçgen) — alanı, kendi ağırlık merkezinden geçen enine eksene göre atalet momenti ve yüzme merkezine uzaklığı:

a = \frac{1 \times 2}{2} = 1 m^{2} i_{0} = \frac{b h^{3}}{36} = \frac{1 \times 2^{3}}{36} = 0,222 m^{4} d = L - LCF + \frac{h}{3} = 150 - 73,73 + \frac{2}{3} = 76,94 m

Ek parça nedeniyle yüzme merkezinin kayması:

δ = \frac{a d}{A_{WP} + a} = \frac{1 \times 76,94}{2696 + 1} = 0,03 m

Düzeltilmiş boyuna atalet momenti (paralel eksen teoremi) ve boyuna metasantr yarıçapı:

I_{y} = I_{F} + A_{WP} δ^{2} + i_{0} + a (d - δ)^{2} = 3 531 440 + 2696 \times {0,03}^{2} + 0,222 + 1 \times {76,91}^{2} = 3 537 358 m^{4}

{BM}_{L} = \frac{I_{y}}{\nabla} = \frac{3 537 358}{18 604,7} = 190,1 m

Kaynak: Dr. Hakan Akyıldız, İTÜ Gemi İnşaatı ve Deniz Bilimleri Fakültesi

Hidrostatik Eğriler

1 Bonjean Kesit Alan Eğrileri

2 Deplasman Hacmi ve Deplasman Eğrileri

3 Form Katsayısı Eğrileri

4 Su Hattı Alanı (AWP) Eğrisi

5 LCB ve LCF Eğrileri

5.1 Boyuna sephiye merkezi (LCB)

5.2 Yüzme merkezi (LCF)

6 KB ve BM Eğrileri

6.1 Sephiye merkezinin yüksekliği (KB)

6.2 Enine metasantr yarıçapı (BM)

7 Boyuna Metasantr Yarıçapı (BML) Eğrisi

8 1 cm Batma Tonajı (T1) Eğrisi

9 1 cm Trim Momenti (MT1) Eğrisi

10 Islak Yüzey Alanı (S) Eğrisi

11 Draft Markaları ve Draft Diyagramı

11.1 Draft markaları

11.2 Draft diyagramı

12 Hidrostatik Hesap Tabloları

12.1 Kesit alanları ve kesit momentleri

12.2 Deplasman, LCB ve KB

12.3 Su hattı alanı, T1, BM, LCF, BML ve MT1

12.4 Islak yüzey alanı

12.5 Sonuç tablosu

13 Çözümlü Örnekler

Örnek 1

Örnek 2

Örnek 3

Örnek 4

Örnek 5

Örnek 6

Örnek 7

4 Su Hattı Alanı ( $A_{WP}$ ) Eğrisi

7 Boyuna Metasantr Yarıçapı ( ${BM}_{L}$ ) Eğrisi

8 1 cm Batma Tonajı ( $T_{1}$ ) Eğrisi

9 1 cm Trim Momenti ( $M_{T 1}$ ) Eğrisi

12.3 Su hattı alanı, T₁, BM, LCF, BM_L ve M_T1